In diesem Kapitel machen wir uns an die Arbeit, Lösungen für einige wichtige Differentialgleichungen zu finden, und verwenden dazu die in den vorangegangenen Kapiteln gezeigten Verfahren.
Der Anfänger, der nun weiß, wie einfach die meisten dieser Verfahren an sich sind, wird hier beginnen zu erkennen, dass Integration eine Kunst ist. Wie in allen Künsten, so auch in dieser, kann Leichtigkeit nur durch fleißiges und regelmäßiges Üben erworben werden. Wer diese Fertigkeit erlangen will, muss Beispiele und noch mehr Beispiele und noch mehr Beispiele ausarbeiten, wie sie in allen Abhandlungen über den Calculus reichlich zu finden sind. Unser Zweck muss hier sein, die kürzeste Einführung für die ernsthafte Arbeit zu leisten.
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Beispiel (1.) Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Differentialgleichung:
\[ ay + b \frac{dy}{dx} = 0. \]
Durch umformen (auf die andere Seite bringen) erhalten wir \[ b \frac{dy}{dx} = -ay. \]
Nun sagt uns die bloße Betrachtung dieser Beziehung, dass wir es mit einem Fall zu tun haben, in dem $\dfrac{dy}{dx}$ proportional zu y ist. Wenn wir uns die Kurve vorstellen, die y als Funktion von x darstellt, wird sie so sein, dass ihre Steigung an jedem Punkt proportional zur Ordinate an diesem Punkt ist und das es eine negative Steigung ist, wenn y positiv ist. Die Kurve ist also offensichtlich eine abfallende Kurve, und die Lösung enthält $\epsilon^{-x}$ als Faktor. Aber, ohne dieses bisschen Scharfsinn vorauszusetzen, lassen Sie uns an die Arbeit gehen.
Da sowohl y als auch dy in der Gleichung und auf gegenüberliegenden Seiten vorkommen, können wir nichts tun, bis wir sowohl y als auch dy auf die eine Seite und dx auf die andere Seite bekommen. Dazu müssen wir die normalerweise unzertrennlichen Partner dy und dx voneinander trennen.
\[ \frac{dy}{y} = - \frac{a}{b}\, dx. \]
Nachdem wir das getan haben, sehen wir, dass beide Seiten in eine integrierbare Form gekommen sind, denn wir erkennen $\dfrac{dy}{y}$, beziehungsweise $\dfrac{1}{y}\, dy$, als ein Differential, das uns beim Differenzieren von Logarithmen begegnet (siehe hier) ist. Wir können also gleich die Anleitung zum Integrieren aufschreiben,
\[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{a}{b}\, dx; \] und die beiden Integrationen durchführen, dann haben wir: \[ \log_\epsilon y = -\frac{a}{b} x + \log_\epsilon C, \] wobei $\log_\epsilon C$ die noch unbestimmte Konstante der Integration ist. Durch De-Logarithmierung (Umkehrung des Logarithmus) erhalten wir: \[ y = C \epsilon^{-\frac{a}{b} x}, \]
Das ist die gesuchte Lösung*. Nun sieht diese Lösung ganz anders aus als die ursprüngliche Differentialgleichung, aus der sie konstruiert wurde: Doch für einen erfahrenen Mathematiker vermitteln beide dieselbe Information darüber, wie y von x abhängt.
* Wir können jede Form von Konstanten als Integrationskonstante aufschreiben, und die Form $\log_\epsilon C$ wird hier vorzugsweise genommen, weil die anderen Terme in dieser Gleichungsreihe Logarithmen sind oder als solche behandelt werden; und es erspart spätere Komplikationen, wenn die hinzugefügte Konstante von der gleichen Art ist.
Was nun das $C$ betrifft, so hängt seine Bedeutung vom Anfangswert von y ab. Denn wenn wir $x=0$ setzen, um zu sehen, welchen Wert y dann hat, sieht man, dass dadurch $y = C \epsilon^{-0}$ wird; und da $\epsilon^{-0} = 1$ ist, sehen wir, dass $C$ nichts anderes ist als der bestimmte Wert* von y am Anfang. Diesen können wir $y_0$ nennen und die Lösung so schreiben:
\[ y = y_0 \epsilon^{-\frac{a}{b} x}. \]
* Vergleichen Sie, was über die Integrationskonstante gesagt wurde, mit Bezug auf Abbildung 48 und Abbildung 51.
Beispiel (2.)
Lassen Sie uns als Beispiel eine Lösung nehmen, bei der $g$ eine Konstante ist.
\[ ay + b \frac{dy}{dx} = g, \]
Auch hier wird die Überprüfung der Gleichung ergeben, dass (1) auf die eine oder andere Weise $\epsilon^x$ in die Lösung kommt, und (2) dass, wenn an irgendeinem Teil der Kurve y entweder ein Maximum oder ein Minimum wird, so dass $\dfrac{dy}{dx} = 0$, dann wird y den Wert $= \dfrac{g}{a}$ haben. Aber machen wir uns wie bisher an die Arbeit, trennen die Differentiale und versuchen, die Sache in eine integrierbare Form zu bringen.
\begin{align*} b\frac{dy}{dx} &= g -ay; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{a}{b}\left(\frac{g}{a}-y\right); \\ \frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}} &= -\frac{a}{b}\, dx. \end{align*}
Nun haben wir uns angestrengt, auf der einen Seite nichts als y und dy zu erhalten, und auf der anderen Seite nichts als dx. Aber ist das Ergebnis auf der linken Seite überhaupt integrierbar?
Es ist von der gleichen Form wie das Ergebnis hier; also, schreiben wir die Anweisungen zum Integrieren, wir haben: \[ \int{\frac{dy}{y-\dfrac{g}{a}}} = - \int{\frac{a}{b}\, dx}; \] und indem man die Integration durchführt und die entsprechende Konstante hinzuaddiert, \begin{align*} \log_\epsilon\left(y-\frac{g}{a}\right) &= -\frac{a}{b}x + \log_\epsilon C; \\ \text{daraus folgt}\;\; y-\frac{g}{a} &= C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}; \\ \text{und schließlich,}\;\; y &= \frac{g}{a} + C\epsilon^{-\frac{a}{b}x}, \end{align*} was die Lösung ist.
Wenn die Bedingung festgelegt wird, dass $y = 0$ ist, wenn $x = 0$ ist, können wir $C$ finden; denn dann wird der Wert des Exponentialanteils $= 1$; und wir haben
\begin{align*} 0 &= \frac{g}{a} + C, \\ \text{Umgeformt}\; C &= -\frac{g}{a}. \end{align*}
Wenn wir diesen Wert in die Lösung einsetzen erhalten wir
\[ y = \frac{g}{a} (1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]
Weiterhin gilt: Wenn x unendlich wächst, wächst y bis zu einem Maximum; denn wenn $x=\infty$, ist der Wert des Exponentialanteils $= 0$, was $y_{\text{max.}} = \dfrac{g}{a}$ ergibt. Setzt man dies ein, erhält man schließlich \[ y = y_{\text{max.}}(1-\epsilon^{-\frac{a}{b} x}). \]
Dieses Ergebnis ist auch in der Physik von Bedeutung.
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Beispiel (3.)
Sei $ay+b\frac{dy}{dt} = g \cdot \sin 2\pi nt$.
Wir werden feststellen, dass dies deutlich schwieriger zu lösen ist als das Vorhergehende. Teilen Sie zunächst durch b.
\[ \frac{dy}{dt} + \frac{a}{b}y = \frac{g}{b} \sin 2\pi nt. \]
Nun ist die linke Seite, so wie sie jetzt ist, nicht integrierbar. Aber sie kann durch den Kunstgriff, alle Terme mit $\epsilon^{\frac{a}{b} t}$ zu multiplizieren, in eine integrierbare Version überführt werden - und hier bieten sich Geschick und Übung an - wir erhalten:
\[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + \frac{a}{b} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt, \] was das gleich ist wie \[ \frac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \frac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt} = \frac{g}{b} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt; \]
und da dies ein perfektes Differential ist, kann es integriert werden, da wenn $u = y\epsilon^{\frac{a}{b} t}$, $\dfrac{du}{dt} = \dfrac{dy}{dt} \epsilon^{\frac{a}{b} t} + y \dfrac{d(\epsilon^{\frac{a}{b} t})}{dt}$,
\begin{align*} y \epsilon^{\frac{a}{b} t} &= \frac{g}{b} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi nt \cdot dt + C, \\ \text{bzw. } y &= \frac{g}{b} \epsilon^{-\frac{a}{b} t} \int \epsilon^{ \frac{a}{b} t} \cdot \sin 2\pi nt \cdot dt + C\epsilon^{-\frac{a}{b} t}. \tag*{[A]} \end{align*}
Der letzte Term ist offensichtlich ein Term, der mit zunehmendem t abklingt, und kann weggelassen werden. Die Schwierigkeit besteht nun darin, das Integral zu finden, das als Faktor auftritt. Dazu greifen wir auf das Mittel der partiellen Integration (siehe hier) zurück, deren allgemeine Formel $\int u \; dv = uv - \int v \; du$ lautet. Dazu schreiben wir
\begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \epsilon^{\frac{a}{b} t}; \\ dv &= \sin 2\pi nt \cdot dt. \end{aligned} \right. \\ \end{align*} Wir haben dann \begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} du &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \times \frac{a}{b}\, dt; \\ v &= - \frac{1}{2\pi n} \cos 2\pi nt. \end{aligned} \right. \end{align*}
Wenn Sie dies einfügen, wird das betrachtete Integral zu:
\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi nt -\int -\frac{1}{2\pi n} \cos 2 \pi nt \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \frac{a}{b}\, dt \\ &= -\frac{1}{2 \pi n} \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cos 2 \pi nt +\frac{a}{2 \pi nb} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi nt \cdot dt. \tag*{[B]} \end{align*}
Das letzte Integral ist immer noch nicht reduzierbar. Um die Schwierigkeit zu umgehen, wiederholen Sie die Integration durch Teile der linken Seite, aber behandeln sie auf die umgekehrte Weise, indem Sie schreiben:
\begin{align*} &\left\{ \begin{aligned} u &= \sin 2 \pi n t ; \\ dv &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot dt; \end{aligned} \right. \\[1ex] \text{und} &\\ &\left\{ \begin{aligned} du &= 2 \pi n \cdot \cos 2 \pi n t \cdot dt; \\ v &= \frac{b}{a} \epsilon ^{\frac{a}{b} t} \end{aligned} \right. \end{align*}
Wenn wir das Einsetzen erhalten wir:
\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} &{} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt\\ &= \frac{b}{a} \cdot \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi n t - \frac{2 \pi n b}{a} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \cos 2 \pi n t \cdot dt. \tag*{[C]} \end{align*}
Da das letzte unlösbare Integral in [C] dasselbe ist wie das in [B], wir können es eliminieren, indem wir [B] mit $\dfrac{2 \pi nb}{a}$ und [C] mit $\dfrac{a}{2 \pi nb}$ multiplizieren und diese addieren.
Wenn alles aufgelöst wurde, ist das Ergebnis:
\begin{align*} \int \epsilon^{\frac{a}{b} t} \cdot \sin 2 \pi n t \cdot dt &= \epsilon^{\frac{a}{b} t} \left\{\frac{ ab \cdot \sin 2 \pi nt - 2 \pi n b^2 \cdot \cos 2 \pi n t}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2 } \right\} \tag*{[D]} &\\ \end{align*}
Setzt man diesen Wert in [A] ein, erhält man:
\begin{align*} y &= g \left\{\frac{ a \cdot \sin 2 \pi n t - 2 \pi n b \cdot \cos 2 \pi nt}{ a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}\right\}. & \end{align*}
Um das Ganze noch weiter zu vereinfachen, stellen wir uns einen Winkel φ derart vor, dass $\tan \phi = \dfrac{2 \pi n b}{ a}$ gilt.
Dann gilt
\[ \sin \phi = \frac{2 \pi nb}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \]
und
\[ \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}. \\ \]
Setzt man diese ein, erhält man:
\[ y = g \frac{\cos \phi \cdot \sin 2 \pi nt - \sin \phi \cdot \cos 2 \pi nt}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \\ \]
das geschrieben werden kann als:
\[ y = g \frac{\sin(2 \pi nt - \phi)}{\sqrt{a^2 + 4 \pi^2 n^2 b^2}}, \]
was die gewünschte Lösung ist.
Dies ist in der Tat nichts anderes als die Gleichung eines elektrischen Wechselstroms, wobei $g$ die Amplitude der elektromotorischen Kraft, n die Frequenz, a der Widerstand, b der Selbstinduktionskoeffizient des Stromkreises und φ ein Verzögerungswinkel ist.
Bespiel (4.) Nehmen Sie an, dass $M\, dx + N\, dy = 0.$
Wir könnten diesen Ausdruck direkt integrieren, wenn $M$ nur eine Funktion von x und $N$ nur eine Funktion von y wäre; wenn aber sowohl $M$ als auch $N$ Funktionen sind, die sowohl von x als auch von y abhängen, wie sollen wir dann den Ausdruck integrieren? Ist es selbst ein exaktes Differential? Das heißt: Sind $M$ und $N$ jeweils durch partielle Differentiation aus einer gemeinsamen Funktion $U$ gebildet worden, oder nicht? Wenn sie es sind, dann:
\[\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial x} = M, \\ \frac{\partial U}{\partial y} = N. \end{aligned} \right. \]
Und wenn eine solche gemeinsame Funktion existiert, dann ist:
\[ \frac{\partial U}{\partial x}\, dx + \frac{\partial U}{\partial y}\, dy \]
exaktes Differential (vergleiche hier).
Der Test der Sache ist nun folgender. Wenn der Ausdruck ein exaktes Differential ist, dann muss folgendes gelten:
\begin{align*} \frac{dM}{dy} &= \frac{dN}{dx}; \\ \text{den dann }\; \frac{d(dU)}{dx\, dy} &= \frac{d(dU)}{dy\, dx},\\ \end{align*}
was notwendigerweise wahr ist.
Nehmen Sie zur Veranschaulichung die Gleichung:
\[ (1 + 3 xy)\, dx + x^2\, dy = 0. \]
Ist dies ein exaktes Differential oder nicht? Wenden Sie den Test an.
\[\left\{ \begin{aligned} \frac{d(1 + 3xy)}{dy}=3x, \\ \dfrac{d(x^2)}{dx} = 2x, \end{aligned} \right. \]
Diese stimmen nicht überein. Es handelt sich also nicht um ein exaktes Differential, und die beiden Funktionen $1+3xy$ und x2 sind nicht aus einer gemeinsamen Ursprungsfunktion hervorgegangen.
Es ist jedoch möglich, in solchen Fällen einen integrierenden Faktor zu finden, d. h. einen solchen Faktor, dass, wenn beide mit diesem Faktor multipliziert werden, der Ausdruck ein exaktes Differential wird. Es gibt keine einheitliche Regel für das Auffinden eines solchen Integrationsfaktors; aber die Erfahrung wird in der Regel eine vorschlagen. Im vorliegenden Fall wird 2x als ein solcher Faktor dienen. Multipliziert man mit 2x, erhält man:
\[ (2x + 6x^2y)\, dx + 2x^3\, dy = 0. \]
Wenden Sie nun den Test darauf an.
\[ \left\{ \begin{aligned} \frac{d(2x + 6x^2y)}{dy}=6x^2, \\ \dfrac{d(2x^3)}{dx} = 6x^2, \end{aligned} \right. \]
diese zwei stimmen überein. Dies ist also ein exaktes Differential, und kann integriert werden. Wenn jetzt $w = 2x^3y$ gilt,
\[ dw=6x^2y\, dx + 2x^3\, dy. \]
Folgt
\[ \int 6x^2y\, dx + \int 2x^3\, dy=w=2x^3y; \]
so erhalten wir:
\[ U = x^2 + 2x^3y + C. \]
Beispiel (5.) Sei $\dfrac{d^2 y}{dt^2} + n^2 y = 0$.
In diesem Fall haben wir eine Differentialgleichung zweiten Grades, in der y sowohl in Form eines zweiten Differentialkoeffizienten wie auch selbst auftritt.
Durch umformen erhalten wir $\dfrac{d^2 y}{dt^2} = - n^2 y$.
Hieraus geht hervor, dass wir es mit einer Funktion zu tun haben, deren zweiter Differentialkoeffizient proportional zu sich selbst ist, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. In Kapitel XV. haben wir festgestellt, dass es eine solche Funktion gibt, nämlich den Sinus (oder auch den Kosinus), der diese Eigenschaft besitzt. Wir können also ohne Weiteres folgern, dass die Lösung die Form $y = A \sin (pt + q)$ haben wird. Wie auch immer, lassen Sie uns an die Arbeit gehen.
Multiplizieren Sie beide Seiten der ursprünglichen Gleichung mit $2\dfrac{dy}{dt}$ und integrieren, dann erhalten wir $2\dfrac{d^2 y}{dt^2}\, \dfrac{dy}{dt} + 2x^2 y \dfrac{dy}{dt} = 0$, und da:
\[ 2 \frac{d^2y}{dt^2}\, \frac{dy}{dt} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}{dt},\quad \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + n^2 (y^2-C^2) = 0, \]
Sei $C$ eine Konstante. Dann wird die Quadratwurzel gezogen:
\[ \frac{dy}{dt} = -n \sqrt{ y^2 - C^2}\quad \text{und}\quad \frac{dy}{\sqrt{C^2 - y^2}} = n \cdot dt. \]
Aber es kann gezeigt werden, dass (siehe hier):
\[ \frac{1}{\sqrt{C^2 - y^2}} = \frac{d (\arcsin \dfrac{y}{C})}{dy}; \]
von wo aus man von Winkeln zu Sinus übergeht,
\[ \arcsin \frac{y}{C} = nt + C_1\quad \text{und}\quad y = C \sin (nt + C_1), \]
wobei $C_1$ ein konstanter Winkel ist, der sich durch Integration einstellt.
Oder, besser, dies kann geschrieben werden als:
\[ y = A \sin nt + B \cos nt, \text{ was die Lösung ist.} \]
Beispiel (6.) $\dfrac{d^2 y}{dt^2} - n^2 y = 0$.
Hier haben wir es offensichtlich mit einer Funktion y zu tun, die so beschaffen ist, dass ihr zweiter Differentialkoeffizient proportional zu sich selbst ist. Die einzige Funktion, die wir kennen, die diese Eigenschaft hat, ist die Exponentialfunktion (siehe hier ), und wir können daher sicher sein, dass die Lösung der Gleichung diese Form hat.
Wir gehen wie zuvor vor, indem wir mit $2 \dfrac{dy}{dx}$ multiplizieren, und beim Integrieren erhalten wir $2\dfrac{d^2 y}{dx^2}\, \dfrac{dy}{dx} - 2x^2 y \dfrac{dy}{dx}=0$, und da:
\[ 2\frac{d^2 y}{dx^2}\, \frac{dy}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}{dx},\quad \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - n^2 (y^2 + c^2) = 0, \\ \frac{dy}{dx} - n \sqrt{y^2 + c^2} = 0, \]
wobei c eine Konstante ist und $\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 + c^2}} = n\, dx$.
Jetzt, wenn
\[ \quad w = \log_\epsilon ( y+ \sqrt{y^2+ c^2}) = \log_\epsilon u,\\ \frac{dw}{du} = \frac{1}{u},\quad \frac{du}{dy} = 1 + \frac{y}{\sqrt{y^2 + c^2}} = \frac{y + \sqrt{ y^2 + c^2}}{\sqrt{y^2 + c^2}} \\ \]
und
\[ \frac{dw}{dy} = \frac{1}{\sqrt{ y^2 + c^2}}. \]
Integrieren ergibt dann dies:
\[ \log_\epsilon (y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = nx + \log_\epsilon C, \\ y + \sqrt{y^2 + c^2} = C \epsilon^{nx}. \tag*{(1)} \\ \] \[ \text{}\; \qquad ( y + \sqrt{y^2 + c^2} ) \times ( -y + \sqrt{y^2 + c^2} ) = c^2 ; \\ \text{}\; \qquad -y + \sqrt{y^2 + c^2} = \dfrac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}. \tag*{(2)} \]
Wenn wir (2) von (1) Subtrahieren und durch 2 teilen, dann haben wir
\[ y = \frac{1}{2} C \epsilon^{nx} - \frac{1}{2}\, \frac{c^2}{C} \epsilon^{-nx}, \]
was einfacher so zu schreiben ist
\[ y = A \epsilon^{nx} + B \epsilon^{-nx}. \]
Die Lösung, die auf den ersten Blick nichts mit der ursprünglichen Gleichung zu tun zu haben scheint, zeigt, dass y aus zwei Termen besteht, von denen einer mit steigendem x logarithmisch wächst, und aus einem zweiten Term, der mit steigendem x abklingt.
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Beispiel (7.) Sei
\begin{align*} b \frac{d^2y}{dt^2} + a \frac{dy}{dt} + gy &= 0. \end{align*}
Die Untersuchung dieses Ausdrucks zeigt, dass er, wenn $b = 0$, die Form von Beispiel 1 hat, dessen Lösung ein negatives Exponential war. Andererseits, wenn $a = 0$, wird seine Form die gleiche wie die von Beispiel 6, dessen Lösung die Summe aus einem positiven und einem negativen Exponential ist. Es ist daher nicht sehr überraschend, dass die Lösung des vorliegenden Beispiels so aussieht
\begin{align*} y &= (\epsilon^{-mt})(A \epsilon^{nt} + B \epsilon^{-nt}), \\ \text{Mit }\; m &= \frac{a}{2b}\quad \text{und}\quad n = \sqrt{\frac{a^2}{4b^2}} - \frac{g}{b}. \end{align*}
Die Schritte, mit denen diese Lösung erreicht wird, werden hier nicht angegeben; sie können in fortgeschrittenen Abhandlungen gefunden werden.
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Beispiel (8.)
\[ \frac{d^2y}{dt^2} = a^2 \frac{d^2y}{dx^2}. \]
Wir haben (hier) gesehen, dass diese Gleichung aus der folgenden ursprünglichen Funktion abgeleitet wurde
\[ y = F(x+at) + f(x-at), \]
wobei F und f beliebige Funktionen von t waren.
Eine andere Möglichkeit, damit umzugehen, ist die Umwandlung durch eine Änderung der Variablen
\[ \frac{d^2y}{du \cdot dv} = 0, \]
mit $u = x + at$, und $v = x - at$, was zu der gleichen allgemeinen Lösung führt. Wenn wir einen Fall betrachten, in dem F verschwindet, dann haben wir einfach
\[ y = f(x-at); \]
Dies besagt lediglich, dass zum Zeitpunkt t = 0 y eine bestimmte Funktion von x ist, und kann als Bezeichnung dafür angesehen werden, dass die Kurve, die sich aus der Beziehung von y zu x ergibt, eine bestimmte Form hat. Dann ist jede Änderung des Wertes von t einfach gleichbedeutend mit einer Änderung des Ursprungs, von dem aus x gerechnet wird. Das heißt, sie besagt, dass sich die Funktion unter Beibehaltung ihrer Form entlang der Richtung x mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit a fortpflanzt, so dass unabhängig vom Wert der Ordinate y zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_0$ an einem bestimmten Punkt $x_0$ derselbe Wert von y zum folgenden Zeitpunkt $t_1$ an einem weiter entfernten Punkt erscheint, dessen Abszisse $x_0 + a(t_1 - t_0)$ ist. In diesem Fall stellt die vereinfachte Gleichung die Ausbreitung einer Welle (beliebiger Form) mit gleichmäßiger Geschwindigkeit entlang der x-Richtung dar.
Wenn die Differentialgleichung so geschrieben
\[ m \frac{d^2y}{dt^2} = k\, \frac{d^2y}{dx^2}, \]
worden wäre, wäre die Lösung die gleiche gewesen, aber die Ausbreitungsgeschwindigkeit hätte den Wert
\[ a = \sqrt{\frac{k}{m}}. \]
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Sie sind nun persönlich über die Grenzen in das verwunschene Land geführt worden. Und damit Sie die wichtigsten Ergebnisse griffbereit haben, bietet Ihnen der Autor zum Abschied noch einen Reisepass in Form einer praktischen Sammlung von Standardfunktionen an. In der mittleren Spalte sind eine Reihe der am häufigsten vorkommenden Funktionen aufgeführt. Auf der linken Seite sind die Ergebnisse der Differenzierung, auf der rechten Seite die Ergebnisse der Integration dieser Funktionen aufgeführt. Mögen Sie sie nützlich finden!