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Partial Differentiation

Manchmal stoßen wir auf Größen, die Funktionen von mehr als einer unabhängigen Variablen sind. So können wir einen Fall finden, in dem y von zwei anderen variablen Größen abhängt, von denen wir eine u und die andere v nennen werden. In Symbolen

\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \] \[ y = f(u, v). \]

Nehmen wir den einfachsten konkreten Fall. Sei

\[ y = u \times v. \]

Was sollen wir tun? Wenn wir v als eine Konstante behandeln und nach u differenzieren, sollten wir folgendes erhalten

\[ dy_v = v\, du; \]

oder wenn wir u als Konstante behandeln, und nach v differenzieren, erhalten wir:

\[ dy_u = u\, dv. \]

Die kleinen Buchstaben, die hier als Indizes stehen, sollen zeigen, welche Größe bei der Operation als konstant angenommen wurde.

Eine weitere Möglichkeit, anzuzeigen, dass die Differentiation nur teilweise, also nur bezüglich einer der unabhängigen Variablen durchgeführt wurde, ist die Schreibweise der Differentialkoeffizienten mit griechischen Deltas / russisches d, wie $\partial$, anstelle des kleinen d. Auf diese Weise

\begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}

Setzen wir diese Werte für v bzw. u ein, so haben wir

\[ dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \]

Das sind partielle Differentiale.

Wenn Sie aber darüber nachdenken, werden Sie feststellen, dass die Gesamtvariation von y von beiden dieser Faktoren gleichzeitig abhängt. Das heißt, wenn beide sich verändern, müsste das wahre/tatsächliche dy geschrieben werden

\[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \]

Und das nennt man ein Totales Differential. In manchen Büchern wird es wie folgt geschrieben:

$dy = \left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$.

Beispiel (1)

Bestimmen Sie, die partiellen Differentialkoeffizienten des Ausdrucks $w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$. Die Antworten sind:

\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{aligned} \right\} \]

Das erste erhält man, indem man y als konstant annimmt, das zweite erhält man, indem man x als konstant annimmt; dann

\[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]

Beispiel (2) Sei $z = x^y$. Wenn wir zuerst y und dann x als konstant behandeln, erhalten wir auf die übliche Weise

\[ \left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y \times \log_\epsilon x, \end{aligned}\right\} \] sodass $dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$.

Beispiel (3) Ein Kegel mit der Höhe h und dem Radius (der Grundfläche) r hat das Volumen $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$. Bleibt seine Höhe konstant, während sich r ändert, so ist das Verhältnis der Ă„nderung des Volumens in Bezug auf den Radius anders als das Verhältnis der Ă„nderung des Volumens in Bezug auf die Höhe, das sich ergeben würde, wenn die Höhe variiert und der Radius konstant gehalten würde, denn

\[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\} \]

Die Veränderung, wenn sich sowohl der Radius als auch die Höhe ändern, ist gegeben durch, $dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dV + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh$.

Beispiel (4) Im folgenden Beispiel bezeichnen F und f zwei beliebige Funktionen von beliebiger Form. Sie können z. B. Sinusfunktionen sein, oder Exponentialfunktionen, oder einfach algebraische Funktionen der beiden unabhängigen Variablen t und x. Betrachten wir nun den Ausdruck

\begin{align*} y &= F(x+at) + f(x-at), \\ \text{bzw.}\;\quad y &= F(w) + f(v); \\ \text{mit }\;\quad w &= x+at,\quad \text{und}\quad v = x-at. \\ \text{Dann }\;\quad \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) \cdot 1 + f'(v) \cdot 1 \end{align*}

(wobei die Zahl 1 einfach der Koeffizient von x in w und v ist)

\begin{align*} \text{und}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) + f''(v). && \\ \text{Also}\; \ \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F'(w) \cdot a - f'(v) a; \\ \text{und}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \text{daher }\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}

Diese Differentialgleichung ist von immenser Bedeutung in der mathematischen Physik.