Beispiel (5) Nehmen wir noch einmal Bezug auf Übung IX Nr. 4. hier
Sei x und y die Länge von zwei der Abschnitte des Umfanges. Der dritte sei $30-(x+y)$, und der Flächeninhalt des Dreiecks sei $A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-30+x+y)}$, wobei $s$ der halbe Umfang, $15$, sei, so dass $A = \sqrt{15P}$, wobei
\begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}
Klarerweise ist A maximal, wenn P maximal ist.
\[ dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \]
Für ein Maximum (in diesem Fall wird es eindeutig kein Minimum sein) muss gleichzeitig folgendes gelten
\[ \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{und}\quad \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0; \] das ist, \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned}
Eine unmittelbare Lösung ist $x=y$.
Wenn wir nun diese Bedingung in den Wert von P einsetzen, erhalten wir
\[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]
Für Maximum oder Minimum gilt $\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0$, was $x=15$ oder $x=10$ ergibt.
Klarerweise ergibt $x=15$ die minimale Fläche; $x=10$ ergibt das Maximum, denn $\dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150$, was $+30$ für $x=15$ und $-30$ für $x=10$ ist.
Beispiel (6) Bestimmen Sie die Abmessungen eines gewöhnlichen Eisenbahnkohlewaggons mit rechteckigen Boden, so dass bei gegebenem Volumen V die Fläche der Seiten und des Bodens zusammen möglichst klein ist.
Der Waggon ist ein rechteckiger, nach oben offener Kasten. Mit anderen Worten, es handelt sich um einem Quader bei dem eine Seite, die obere, fehlt. Sei x die Länge und y die Breite; dann sei die Tiefe $\dfrac{V}{xy}$. Der Flächeninhalt sei $S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$.
\[ dS = \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy = \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \]
Für Minimum (das wird hier eindeutig kein Maximum sein) gilt,
\[ y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0. \]
Auch hier ist eine unmittelbare Lösung, $x = y$, so dass $S = x^2 + \dfrac{4V}{x}\quad$, $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V}{x^2} =0$ für das Minimum, und
\[ x = \sqrt[3]{2V}. \]
(1) Differenzieren Sie den Ausdruck $\dfrac{x^3}{3} - 2x^3y - 2y^2x + \dfrac{y}{3}$ nur in Bezug auf x, und nur in Bezug auf y.
(2) Bestimmen Sie die partiellen Differential Koeffizienten bezüglich x, y und z, für den Ausdruck:
\[ x^2yz + xy^2z + xyz^2 + x^2y^2z^2. \]
(3) Sei $r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2$.
Bestimmen Sie den Wert von $\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}$. Bestimmen Sie auch den Wert von $\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial z^2}$.
(4) Bestimmen Sie das totale Differential von $y=u^v$.
(5) Bestimmen Sie das totale Differential von $y=u^3 \sin v$; von $y = (\sin x)^u$; und von $y = \dfrac{\log_\epsilon u}{v}$.
(6) Beweisen Sie, dass die Summe der drei Größen x, y, z, deren Produkt eine Konstante k ist, maximal ist, wenn diese drei Größen gleich sind.
(7) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum der Funktion
\[ u = x + 2xy + y. \]
(8) Die Postvorschriften besagen, dass kein Paket so groß sein darf, dass seine Länge plus seinen Umfang $ 6 $ Fuß überschreitet. Was ist das größte Volumen, das bei einem Paket mit rechteckigem Querschnitt per Post (a ) versendet werden kann; (b ) bei einem Paket mit kreisförmigem Querschnitt.
(9) Teilen Sie $\pi$ in 3 Teile, so dass das zusammengesetzte Produkt ihrer Sinusse ein Maximum oder Minimum sein kann.
(10) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von $u = \dfrac{\epsilon^{x+y}}{xy}$.
(11) Bestimmen Sie das Maximum und Minimum von
\[ u = y + 2x - 2 \log_\epsilon y - \log_\epsilon x. \]
(12) Ein Eimer/Lore an einer (Luft-)Seilbahn mit gegebener Kapazität hat die Form eines horizontalen gleichschenkligen Dreiecksprismas mit der Spitze nach unten und der gegenüberliegenden Seite offen. Ermitteln Sie die Abmessungen, damit bei der Konstruktion möglichst wenig Eisenblech verwendet werden kann.
(1) $x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \frac{1}{3} - 2x^3 - 4xy$.
(2) $2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2$; $2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2$; $2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z$.
(3) $\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
(4) $dy = vu^{v-1}\, du + u^v \log_\epsilon u\, dv$.
(5) $dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv$, $dy = u \sin x^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \log_\epsilon \sin x du$, $dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \log_\epsilon u \dfrac{1}{v^2}\, dv$.
(6) Siehe Beispiel mit Maximum von Produkt, wenn beide Zahlen gleich groß sind.
(7) Minimum für $x = y = -\frac{1}{2}$.
(8) (a ) Länge 2 Fuß, Breite = Tiefe = 1 Fuß, Volumen = 2 Kubikfuß. (b ) Radius = $\dfrac{2}{\pi}$ Fuß = $7.46$ inch., Länge = 2 Fuß, Volumen = $2.54$ Kubikfuß.
(9) Alle drei Teile / Zahlen gleich groß, dann wird das Produkt maximal.
(10) Minimum für $x = y = 1$.
(11) Min.: $x = \frac{1}{2}$ und $y = 2$.
(12) Winkel am Scheitelpunkt $= 90^{\circ}$; gleiche Seiten = Länge = $\sqrt[3]{2V}$.