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Einführung in nützliche Ausweichmanöver

Manchmal ist man ratlos, wenn man feststellt, dass der zu differenzierende Ausdruck zu kompliziert ist, um direkt angegangen zu werden.

Diese Gleichung\[ y = (x^2+a^2)^{\frac{3}{2}} \] ist für einen Anfänger unangenehm.

Das Ausweichen, um die Schwierigkeit zu lösen, ist folgende: Schreiben Sie ein Symbol wie $ u $ für den Ausdruck $ x^2 + a^2 $; dann wird die Gleichung zu:

\[ y = u^{\frac{3}{2}}, \] die Sie leicht handhaben können; \[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}. \] Dann gehen Sie den Ausdruck \[ u = x^2 + a^2 \text{an, } \] und differenzieren Sie diese nach x, \[ \frac{du}{dx} = 2x. \] Dann ist alles, was bleibt, ist eine klare Sache; \begin{align*} \text{für }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}; \\ \text{das ist ,}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}; \end{align*}

und so wird der Trick gemacht.

Wenn Sie nach und nach gelernt haben, mit Sinus, Cosinus und Exponentiellen umzugehen, werden Sie feststellen, dass dieses Ausweichmanöver immer nützlicher wird.

Beispiele Lassen Sie uns dieses Ausweichmanöver an einigen Beispielen üben.

(1) Differenzieren Sie $y = \sqrt{a+x}$.

Sei $a+x = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \end{align*}

(2) Differenzieren Sie $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$.

Sei $a + x^2 = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \end{align*}

(3) Differenzieren Sie $y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a$.

Sei $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$. \begin{gather*} \frac{du}{dx} = -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\\ y = u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{gather*}

(4) Differenzieren Sie $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}$.

Sei $u = x^3 - a^2$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align*}

(5) Differenzieren Sie $y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$.

Schreiben Sie dies als $y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}$. \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]

Wir können es auch so schreiben $y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$ und als Produkt differenzieren.

Verfahren Sie wie im Beispiel (1) oben, wir erhalten:

\[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}; \quad\text{und}\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}. \]

Dann

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \text{bzw. }\\ \frac{dy}{dx} &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}

(6) Differenzieren Sie $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}$.

Wir können das so schreiben:

\begin{gather*} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \times \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gather*}

Differenzieren Sie $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$, wie im obigen Beispiel (2) gezeigt wurde und wir erhalten:

\[ \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}; \]

Sodass:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}. \]

(7) Differenzieren Sie $y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3$.

Sei $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$.

\begin{gather*} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad\text{und}\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gather*}

Sei nun $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$ und $(x^2+x+a) = w$.

\begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \text{Dann } \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}

(8) Differenzieren Sie $y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}$.

Wir erhalten:

\begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}

Sei $u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}$ und $v = (a^2 - x^2)$.

\begin{align*} u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x. \\ \frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \end{align*}

Sei $w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}$ und $z = (a^2 + x^2)$.

\begin{align*} w &= z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \end{align*}

Dann

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \text{bzw. }\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}

(9) Differenzieren $y^n$ in Bezug auf $y^5$.

\[ \frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}. \]

(10) Bestimmen Sie den ersten und zweiten Differentialkoeffizienten von $y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b}. \]

Sei $\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u$ und sei $(a-x)x = w$; dann ist $u = w^{\frac{1}{2}}$.

\[ \frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \] \begin{align*} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Dann

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]

Nun

\begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Wir werden diese beiden letzten Differentialkoeffizienten später benötigen. Siehe hier

Übungen VI

Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

?

(1) $y = \sqrt{x^2 + 1}$.

(2) $y = \sqrt{x^2+a^2}$.

(3) $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}$.

(4) $y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}$.

(5) $y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}$.

(6) $y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt[2]{x^3+a}}$.

(7) $y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}$.

(8) Differenzieren Sie y5 in Bezug auf y2.

(9) Differenzieren Sie $y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}$.

?

Antworten

(1) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}$.

(2) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}$.

(3) $- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}$.

(4) $\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}$.

(5) $\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}$.

(6) $ \dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left(x^3 + a \right) - \left(x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}$

(7) $\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}$.

(8) $\frac{5}{2} y^3$.

(9) $\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}$.

Der Prozess kann auf drei oder mehr Differentialkoeffizienten erweitert werden, so dass $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \times \dfrac{dz}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}$ ist.

Beispiele (1) Wenn $z = 3x^4$; ? ? $v = \dfrac{7}{z^2}$; ? ? $y =\sqrt{1+v}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{dx}$.

Wir haben:

\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3} = -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \end{align*}

(2) Wenn $t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}$; ? ? $x = t^3 + \dfrac{t}{2}$; ? ? $v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{d\theta}$. \[ \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \\ \text{ Daher }\; \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^4} \sqrt{\theta^3}}, \]

ein Ausdruck, in dem x durch seinen Wert und t durch seinen Wert in Bezug auf $\theta$ ersetzt werden muss.

(3) Wenn $\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}$; ? ? $\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}$; ? ? und $\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}$, bestimmen Sie $\dfrac{d\phi}{dx}$.

Wir erhalten:

\begin{gather*} \theta = 3a^2x^{-\frac{1}{2}};\quad \omega = \sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}};\quad \text{und}\quad \phi = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1}. \\ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^2}{2\sqrt{x^3}};\quad \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^2}} \end{gather*}

siehe Beispiel 5, hier; und

\[ \frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^2}. \]

So das

$\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \omega^2} \times \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^2}} \times \dfrac{3a^2}{2\sqrt{x^3}}$.

Ersetze zuerst $\omega$, dann $\theta$ durch ihre Werte.

Übungen VII

Sie können jetzt Folgendes erfolgreich versuchen.

(1) Wenn $u = \frac{1}{2}x^3$; ? ?$v = 3(u+u^2)$; ? ?und $w = \dfrac{1}{v^2}$, bestimmen Sie $\dfrac{dw}{dx}$.

(2) Wenn $y = 3x^2 + \sqrt{2}$; ? ?$z = \sqrt{1+y}$; ? ?und $v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}$, bestimmen Sie $\dfrac{dv}{dx}$.

(3) Wenn $y = \dfrac{x^3}{\sqrt{3}}$; ? ?$z = (1+y)^2$; ? ?und $u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}$, bestimmen Sie $\dfrac{du}{dx}$.

Antworten

(1) $\dfrac{dw}{dx} = \dfrac{3x^2 \left(3 + 3x^3 \right)} {27 \left(\frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{4} x^6 \right)^3}$.

(2) $\dfrac{dv}{dx} = - \dfrac{12x}{\sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2} \left(\sqrt{3} + 4 \sqrt{1 + \sqrt{2} + 3x^2}\right)^2}$.

(3) $\dfrac{du}{dx} = - \dfrac{x^2 \left(\sqrt{3} + x^3 \right)} {\sqrt{ \left[ 1 + \left(1 + \dfrac{x^3}{\sqrt{3}} \right) ^2 \right]^3}} $