Wir haben gelernt, einfache algebraische Funktionen wie x2 + c oder ax4 zu differenzieren, und wir müssen uns jetzt überlegen, wie wir die Summe von zwei oder mehr Funktionen angehen können.
Zum Beispiel, sei
y = (x2 + c) + (ax4 + b)
wie wird $\dfrac{dy}{dx}$ für diesen Ausdruck aussehen? Und wie sollen wir diese neue Aufgabe lösen?
Die Antwort auf diese Frage ist ganz einfach: Differenzieren Sie die Elemente einfach nacheinander, also:
\[ \dfrac{dy}{dx} = 2x + 4ax^3. (Antwort) \]
Wenn Sie Zweifel haben, ob dies richtig ist, versuchen Sie einen allgemeineren Fall, indem Sie ihn nach den ersten Prinzipien bearbeiten. Und so funktioniert das:
Sei y = u + v, wobei u eine beliebige Funktion von x und v eine andere Funktion von x ist. Wenn x dann auf x + dx ansteigt, erhöht sich y auf y + dy; und es erhöhen sich ebenfalls u und v auf u + du beziehungsweise auf v + dv.
Und wir haben dann:
y + dy = u + du + v + dv.
Wenn wir die ursprüngliche Funktion y = u + v subtrahieren, erhalten wir
dy = du + dv,
und durch Dividieren durch dx, bekommen wir:
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx}.$
Dies rechtfertigt das Verfahren. Sie differenzieren jede Funktion separat und addieren die Ergebnisse. Wenn wir nun das des vorhergehenden Absatzes nehmen und die Werte der beiden Funktionen einsetzen, erhalten wir unter Verwendung der gezeigten Notation (Kapitel III),
\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} & = \frac{d(x^2+c)}{dx} &&+ \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\ & = 2x &&+ 4ax^3, \end{alignat*}
genau das gleiche wie zuvor.
Wenn es drei Funktionen von x gibt, welche wir u, v und w nennen, und y = u + v + w gilt, erhalten wir folgendes:
\begin{align*} y &= u+v+w; \\ \text{Dann }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align*}
Die Subtraktion folgt sofort; denn wenn die Funktion v ein negatives Vorzeichen gehabt hätte, wäre auch ihr Differentialkoeffizient negativ; sodass durch Differenzieren
\begin{align*} y &= u-v, \\ \text{ wir dies bekommen sollten }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align*}
Aber wenn wir es mit Produkten zu tun haben, ist die Sache nicht ganz so einfach.
Angenommen, wir wurden aufgefordert, den folgenden Ausdruck zu differenzieren.
y = (x2 + c) × (ax4 + b),
Was sollen wir tun? Das Ergebnis wird sicherlich nicht 2x × 4ax3 sein; denn es ist leicht zu erkennen, dass weder c × ax4 noch x2 × b in dieses Produkt berücksichtigt worden wären.
Nun gibt es zwei Möglichkeiten, wie wir an die Arbeit gehen können.
Erste Möglichkeit Multiplizieren Sie zuerst und nachdem Sie das gelöst haben, differenzieren Sie das Ergebnis.
Dementsprechend multiplizieren wir x2 + c und ax4 + b.
Dies ergibt ax6 + acx4 + bx2 + bc.
Jetzt differenzieren wir und erhalten:
\[ \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx. \]
Zweite Möglichkeit Kehren Sie zu den Prinzipien zurück und betrachten Sie die Gleichung
y = u × v ;
in der u eine Funktion von x und v eine andere Funktion von x ist. Wenn dann x zu x + dx wird; und y bis y + dy; und u wird zu u + du und v wird zu v + dv, und wir haben:
y + dy = (u + du) × (v + dv)
= u · v + u · dv + v · du + du · dv.
Nun ist du · dv eine kleine Menge der zweiten Ordnung der Kleinheit, und kann daher im Limes verworfen werden, sodass
y + dy = u · v + u · dv + v · du.
Dann subtrahieren wir die ursprüngliche Funktion y = u · v, und erhalten
dy = u · dv + v · du;
Und dividieren durch dx, liefert folgendes Ergebnis: \[ \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}. \]
Dies zeigt, dass unsere Anweisungen wie folgt lauten: Um das Produkt zweier Funktionen zu differenzieren, multiplizieren Sie jede Funktion mit dem Differentialkoeffizienten der anderen und addieren Sie die beiden Produkte.
Sie sollten beachten, dass dieser Prozess Folgendes umfasst: Behandeln Sie u als konstant, während Sie v differenzieren; behandeln Sie dann v als konstant, während Sie u differenzieren. Und der gesamte Differentialkoeffizient $ \dfrac{dy}{dx} $ ist die Summe von diesen zwei Schritten.
Nachdem wir diese Regel gefunden haben, wenden wir sie auf das obige Beispiel an.
Wir wollen das folgende Produkt differenzieren:
(x2 + c) × (ax4 + b).
Sei (x2 + c) = u; und (ax4 + b) = v.
Dann, nach der soeben festgelegten allgemeinen Regel, können wir schreiben: \begin{alignat*}{2} \dfrac{dy}{dx} &= (x^2 + c)\, \frac{d(ax^4 + b)}{dx} &&+ (ax^4 + b)\, \frac{d(x^2 + c)}{dx} \\ &= (x^2 + c)\, 4ax^3 &&+ (ax^4 + b)\, 2x \\ &= 4ax^5 + 4acx^3 &&+ 2ax^5 + 2bx, \\ \dfrac{dy}{dx} &= 6ax^5 + 4acx^3 &&+ 2bx, \end{alignat*} was genau das gleiche wie zuvor ist.
Zuletzt müssen wir Quotienten differenzieren.
Stellen Sie sich dieses Beispiel vor: $ y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a} $. In einem solchen Fall ist es sinnlos, vorher zu versuchen, die Division zu berechnen, da x2 + a bx5 + c nicht teilt, und sie auch keinen gemeinsamen Faktor haben. Es bleibt also nichts anderes übrig, als zu den ersten Prinzipien zurückzukehren und eine Regel zu finden.
Also setzen wir ein
\[ y = \frac{u}{v}; \] wobei u und v zwei verschiedene Funktionen der unabhängigen Variable x sind. Dann, wenn x zu x + dx wird, wird y zu y + dy und ebenso wird aus u dann u + du und entsprechend wird v zu v + dv. Also dann
\[ y + dy = \dfrac{u + du}{v + dv}. \]
Führen Sie nun die Polynom Division (algebraische Division) durch, also:
\begin{align*}
u + du & : v +dv = \frac{u}{v} + \frac{du}{v} - \frac{u \cdot dv}{v^{2}} \\
\end{align*}
Mit Rest $- \frac{du \cdot dv}{v} + \frac{u \cdot dv \cdot dv}{v^{2}}$.
Da diese beiden Reste kleine Mengen zweiter Ordnung sind, können sie vernachlässigt werden, und die Division kann hier aufhören, da alle weiteren Reste noch kleinere Größen haben würden.
So erhalten wir:
\begin{align*} y + dy &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u \cdot dv}{v^2}; \\ \end{align*}
was so geschrieben werden kann
\begin{align*} &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}. \\ \end{align*}
Nun substrahieren wir die ursprüngliche Funktion $y = \dfrac{u}{v}$, und erhalten:
\begin{align*} dy &= \dfrac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}; \\ \text{und daraus }\; \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}. \end{align*}
Dies gibt uns Anweisungen, wie ein Quotient aus zwei Funktionen differenziert werden kann. Multiplizieren Sie die Divisorfunktion mit dem Differentialkoeffizienten der Dividendenfunktion. Dann multipliziere die Dividendenfunktion mit dem Differentialkoeffizienten der Divisorfunktion; und subtrahieren diesen von Ersterem. Dividieren Sie das Ergebnis der Subtraktion durch das Quadrat der Divisorfunktion.
Zurück zu unserem Beispiel $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$,
schreib bx5 + c = u;
und x2 + a = v.
Dann
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad\text{(Ergebnis)} \end{align*}
Das Bearbeiten von Quotienten ist oft mühsam, aber es ist nicht schwierig.
Einige weitere vollständig ausgearbeitete Beispiel, werden im Folgenden angegeben.
(1) Differenziere $y = \dfrac{a}{b^2} x^3 - \dfrac{a^2}{b} x + \dfrac{a^2}{b^2}$.
Da $\dfrac{a^2}{b^2}$ eine Konstante ist, die verschwindet, haben wir
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{a}{b^2} \times 3 \times x^{3-1} - \frac{a^2}{b} \times 1 \times x^{1-1}. \]
Aber $x^{1-1} = x^0 = 1$; so erhalten wir: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3a}{b^2} x^2 - \frac{a^2}{b}. \]
(2) Differenziere $y = 2a\sqrt{bx^3} - \dfrac{3b \sqrt[3]{a}}{x} - 2\sqrt{ab}$.
Schreiben Sie x in Potenzform und wir erhalten
\[ y = 2a\sqrt{b} x^{\frac{3}{2}} - 3b \sqrt[3]{a} x^{-1} - 2\sqrt{ab}. \]
Jetzt
\[ \frac{dy}{dx} = 2a\sqrt{b} \times \tfrac{3}{2} \times x^{\frac{3}{2}-1} - 3b\sqrt[3]{a} \times (-1) \times x^{-1-1}; \\ \text{bzw., }\; \frac{dy}{dx} = 3a\sqrt{bx} + \frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}. \]
(3) Differenzieren Sie $z = 1,8 \sqrt[3]{\dfrac{1}{\theta^2}} - \dfrac{4,4}{\sqrt[5]{\theta}} - 27^{\circ}$.
Das kann auch so geschrieben werden: $z= 1,8\, \theta^{-\frac{2}{3}} - 4,4\, \theta^{-\frac{1}{5}} - 27^{\circ}$.
Die $27^{\circ}$ verschwinden, und wir erhalten
\[ \frac{dz}{d\theta} = 1,8 \times -\tfrac{2}{3} \times \theta^{-\frac{2}{3}-1} - 4,4 \times \left(-\tfrac{1}{5}\right)\theta^{-\frac{1}{5}-1} \] bzw., \[ \frac{dz}{d\theta} = -1,2\, \theta^{-\frac{5}{3}} + 0,88\, \theta^{-\frac{6}{5}} \] bzw., \[ \frac{dz}{d\theta} = \frac{0,88}{\sqrt[5]{\theta^6}} - \frac{1,2}{\sqrt[3]{\theta^5}}. \](4) Differenzieren Sie v = (3t2 - 1,2 t + 1)3.
Später wird ein direkter Lösungsansatz für die Aufgabe gezeigt (siehe hier); aber wir können es jetzt trotzdem ohne Schwierigkeiten schaffen.
Auflösen des kubischen Ausdrucks und wir erhalten
v = 27t6 - 32,4t5 + 39,96t4 - 23,328t3 + 13,32t2 - 3,6t + 1;
Daher
\[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159,84t^3 - 69,984t^2 + 26,64t - 3,6. \]
(5) Differenzieren Sie $y = (2x - 3)(x + 1)^2$.
\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*}
oder einfacher, erst ausmultiplizieren und dann differenzieren.
(6) Differenzieren Sie $y = 0,5 x^3(x-3)$.
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 0,5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0,5\left[x^3 + (x-3) \times 3x^2\right] = 2x^3 - 4,5x^2. \end{align*}
Gleicher Hinweis wie im vorhergehenden Beispiel.
(7) Differenzieren Sie $w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)$.
Dies kann so geschrieben werden
\begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\ &= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}
Dies könnte wiederum auch einfacher gelöst werden, indem die beiden Faktoren zuerst multipliziert und anschließend differenziert werden. Dies ist jedoch nicht immer möglich, zum Beispiel hier, Beispiel 8, bei dem die Regel für das Differenzieren von einem Produkt angewendet werden muss.
(8) Differenzieren Sie $y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}$.
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) \times 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align*}
(9) Differenzieren Sie $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$.
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 \times 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}. \]
(10) Differenzieren Sie $y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}$.
In Potenform dargestellt, $y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}$.
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \text{daher}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \]
(11) Differenzieren Sie
\begin{align*} \theta &= \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}. \\ \text{also}\; \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) \times \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{t^3})^2}. \end{align*}
(12) Ein Reservoir mit quadratischem Querschnitt hat Seiten, die in einem Winkel von 45° zur Vertikalen abfallen. Die Seiten des Bodens haben eine Länge von 2 m. Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Menge, die ein- oder ausströmt, wenn die Wassertiefe um 1 m variiert. Berechnen Sie damit die Menge Wasser, die stündlich entnommen wird, wenn die sich die Tiefe in 24 Stunden von 14 m auf 10 m reduziert.
Das Volumen eines Pyramidenstumpfes der Höhe $ H $ und der Basen A und a beträgt $ V = \dfrac{H}{3} (A + a + \sqrt{Aa}) $. Es ist leicht zu erkennen, dass bei einer Neigung von 45°, wenn die Tiefe h beträgt, die Länge der Seite der quadratischen Oberfläche des Wassers 200 + 2h m beträgt, daher ist das Volumen des Wassers:
\[ \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] = 40000h + 400h^2 + \dfrac{4h^3}{3}. \]
$\dfrac{dV}{dh} = 40000 + 800h + 4h^2 = {}$ entspricht der Veränderung des Volumens in Kubikmeter pro Meter Veränderung der Tiefe. Das mittlere Niveau von 14 zu 10 Meter ist 12 Meter, wenn h = 12, dann ist $\dfrac{dV}{dh} = 50176$ Kubikmeter.
Die Menge an Wasser pro Stunde korrespondiert mit der Veränderung der Tiefe um 4 Meter in 24 Stunden ${} = \dfrac{4 \times 50176}{24} = 8362 \frac{2}{3} \approx 8362,67$ Kubikmeter.
(13) Der absolute Druck von gesättigtem Dampf, in Atmosphären P, bei der Temperatur t° C. wird von Dulong, als $ P = \left(\dfrac{40 +t}{140} \right)^5$ angegeben, solange t über 80° liegt. Bestimmen Sie die Variationsrate des Drucks, mit der Temperatur, bei 100° C.
Erweitern Sie den Zähler mit Hilfe der binomischen Formeln (siehe hier).
\[ P = \frac{1}{140^5} (40^5 + 5 \times 40^4 t + 10 \times 40^3 t^2 + 10 \times 40^2 t^3 + 5 \times 40t^4 + t^5); \] \begin{align*} \text{daher }\; \dfrac{dP}{dt} = &\dfrac{1}{537,824 \times 10^5}\\ &(5 \times 40^4 + 20 \times 40^3 t + 30 \times 40^2 t^2 + 20 \times 40t^3 + 5t^4), \end{align*}
Wenn $t = 100$ ist ergibt sich aus dem Ausdruck, dass die Veränderung um 1 Grad Celsius zu einer Veränderung von $0,036$ Atmosphären führt.
(a) $u = 1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dotsb$.
(b) $y = ax^2 + bx + c$. (c ) $y = (x + a)^2$.
(d) $y = (x + a)^3$.
(2) If $w = at - \frac{1}{2}bt^2$, find $\dfrac{dw}{dt}$.
(3) Bestimmen Sie den Differentialkoeffizienten von \[ y = (x + \sqrt{-1}) \times (x - \sqrt{-1}). \]
(4) Differenzieren Sie \[ y = (197x - 34x^2) \times (7 + 22x - 83x^3). \]
(5) Wenn $x = (y + 3) \times (y + 5)$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dx}{dy}$.
(6) Differenzieren Sie $y = 1,3709x \times (112,6 + 45,202x^2)$.
Bestimmen Sie die Differentialkoeffizienten von
(7) $y = \dfrac{2x + 3}{3x + 2}$.
(8) $y = \dfrac{1 + x + 2x^2 + 3x^3}{1 + x + 2x^2}$.
(9) $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$.
(10) $y = \dfrac{x^n + a}{x^{-n} + b}$.
(11) Die Temperatur t des Glühfadens einer elektrischen Glühlampe ist durch folgenden Zusammenhang
C = a + bt + ct2
mit dem durch die Lampe fließenden Strom verbunden.
Bestimmen Sie einen Ausdruck, der die Variation des Stroms entsprechend einer Temperaturänderung angibt.
(12) Die folgenden Formeln wurden vorgeschlagen, um die Beziehung zwischen dem elektrischen Widerstand $R$ eines Drahtes bei der Temperatur t° C und dem Widerstand $R_0$ desselben Drahtes bei $0^{\circ}$ Celsius, auszudrücken. Wobei a, b und c Konstanten sind.
R = R0(1 + at + bt2).
R = R0(1 + at + b√t).
R = R0(1 + at + bt2)-1.
Ermitteln Sie die Variationsrate des Widerstands in Bezug auf die Temperatur, wie sie von jeder dieser Formeln angegeben wird.
(13) Es wurde festgestellt, dass die elektromotorische Kraft E einer bestimmten Art von Standardzelle mit der Temperatur t variiert, dabei ergab sich die folgende Beziehung
E = 1.4340 [1 - 0,000814(t-15) + 0,000007(t-15)2] Volt.
Bestimmen Sie die Veränderung der elektromotorischen Kraft pro Grad, bei 15°, 20° und 25°.
(14) Die elektromotorische Kraft E, die notwendig ist, um einen Lichtbogen der Länge l mit einem Strom der Intensität i aufrechtzuerhalten, wurde von Frau Ayrton gefunden,
\[ E = a + bl + \frac{c + kl}{i}, \]
wobei a, b, c, k Konstanten sind.
Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Variation der elektromotorischen Kraft
(a) in Bezug auf die Länge des Lichtbogens;
(b) in Bezug auf die Stärke des Stroms.
?
(1) (a) $1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \ldots$
(b) 2ax + b.
(c ) 2x + 2a.
(d) 3x2 + 6ax + 3a2.
(2) $\dfrac{dw}{dt} = a - bt$.
(3) $\dfrac{dy}{dx} = 2x$.
(4) 14110x4 - 65404x3 - 2244x2 + 8192x + 1379.
(5) $\dfrac{dx}{dy} = 2y + 8$.
(6) 185,9022654x2 + 154,36334.
(7) $\dfrac{-5}{(3x + 2)^2}$.
(8) $\dfrac{6x^4 + 6x^3 + 9x^2}{(1 + x + 2x^2)^2}$.
(9) $\dfrac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.
(10) $\dfrac{anx^{-n-1} + bnx^{n-1} + 2nx^{-1}}{(x^{-n} + b)^2}$.
(11) b + 2ct.
(12) $R_0(a + 2bt)$, ? ? $R_0 \left(a + \dfrac{b}{2\sqrt{t}}\right)$, ? ? $-\dfrac{R_0(a + 2bt)}{(1 + at + bt^2)^2}$ ? ? bzw. ? ? $\dfrac{R^2 (a + 2bt)}{R_0}$.
(13) 1,4340(0,000014t - 0,001024); ? ? -0,00117; ? ? -0,00107; ? ? -0,00097.
(14) $\dfrac{dE}{dl} = b + \dfrac{k}{i}$, ? ? $\dfrac{dE}{di} = -\dfrac{c + kl}{i^2}$.