Wie jede andere mathematische Operation kann auch der Prozess des Differenzierens umgekehrt werden; wenn also das Differenzieren von $y = x^4$ zu einem Ergebnis von $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ führt, würde man sagen, dass die Umkehrung des Prozesses $y = x^4$ ergeben würde, wenn man mit $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ beginnt. Doch hier kommt ein kurioser Punkt ins Spiel. Wir müssten $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$ erhalten, wenn wir mit einer beliebigen der folgenden Möglichkeiten begonnen hätten: x4, oder $x^4 + a$, oder $x^4 + c$, oder x4 mit einer beliebigen Zusatzkonstante. Es ist also klar, dass man bei der Rückrechnung von $\dfrac{dy}{dx}$ auf y die Möglichkeit einer addierten Konstante mit einkalkulieren muss, deren Wert unbestimmt bleibt, bis diese auf andere Weise ermittelt wird. Wenn also die Differenzierung von xn nxn-1 ergibt, erhalten wir beim Rückrechnen von $\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}$ $y = x^n + C$; wobei $C$ für die noch unbestimmte mögliche Konstante steht.
Beim Umgang mit Potenzen von x ist die Regel für das Zurückrechnen eindeutig: Erhöhe die Potenz um 1, teile dann durch diese erhöhte Potenz und addiere die unbestimmte Konstante.
Also, in dem Fall, wenn
\[ \frac{dy}{dx} = x^n, \]
zurückgerechnet wird, erhalten wir
\[ y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C. \]
Wenn die Differenzierung der Gleichung y = axn uns folgendes
\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \]
ergibt, ist es eine Frage des gesunden Menschenverstandes, dass wir so
\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}, \]
mit dem Prozess beginnen und ihn umkehren, was uns folgendes gibt
\[ y = ax^n. \]
Wenn wir es also mit einer multiplizierenden Konstante zu tun haben, müssen wir die Konstante einfach als Multiplikator des Integrationsergebnisses einsetzen.
Wenn also $\dfrac{dy}{dx} = 4x^2$ ist, erhalten wir durch den umgekehrten Vorgang $y = \frac{4}{3}x^3$.
Aber dies ist unvollständig. Denn wir müssen uns daran erinnern, dass, wenn wir mit
\[ y = ax^n + C, \]
begonnen hätten, wobei $C$ eine beliebige konstante Größe ist, hätten wir ebenso
\[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}. \]
gefunden.
Wenn wir also den Prozess umkehren, müssen wir immer daran denken, diese unbestimmte Konstante zu addieren, auch wenn wir noch nicht wissen, welchen Wert sie haben wird.
Dieses Verfahren, die Umkehrung des Differenzierens, nennt man Integrieren; denn es besteht darin, den Wert der ganzen Menge y zu finden, wenn man nur einen Ausdruck für dy oder für $\dfrac{dy}{dx}$ gegeben hat. Bisher haben wir dy und dx als Differentialkoeffizienten möglichst zusammen gehalten: in Zukunft werden wir sie öfter trennen müssen.
Beginnen wir mit einem einfachen Fall,
\[ \frac{dy}{dx} = x^2. \]
Wir können dies, wenn wir wollen, als
\[ dy = x^2\, dx \]
schreiben.
Dies ist nun eine Differentialgleichung, die uns mitteilt, dass ein Element von y gleich dem entsprechenden Element von x multipliziert mit x2 ist. Was wir nun wollen, ist das Integral; schreiben Sie also mit dem richtigen Symbol die Anweisungen zur Integration beider Seiten auf, also:
\[ \int dy = \int x^2\, dx. \]
[Hinweis zum Lesen von Integralen: Die obigen werden so gelesen: Integral d-y ist gleich Integral iks quadrat d-iks.]
Wir haben noch nicht integriert: Wir haben nur Anweisungen aufgeschrieben, um dies zu integrieren - wenn wir es können. Lassen Sie es uns versuchen. Viele andere Narren können es - warum nicht auch wir? Die linke Seite ist die Einfachheit selbst. Die Summe aller Teilstücke von y ist dasselbe wie y selbst. Wir können also sofort sagen:
\[ y = \int x^2\, dx. \]
Aber wenn wir zur rechten Seite der Gleichung kommen, müssen wir bedenken, dass wir nicht alle dx's zusammenzählen müssen, sondern alle Terme wie $x^2\, dx$; und das wird nicht dasselbe sein wie $x^2 \int dx$, denn x2 ist keine Konstante. Denn einige der dx werden mit großen Werten von x2 multipliziert werden, und einige werden mit kleinen Werten von x2 multipliziert werden, je nachdem, welchen Wert x gerade besitzt. Wir müssen uns also überlegen, inwieweit es uns hier helfen kann, dass wir wissen, dass dieser Prozess der Integration die Umkehrung der Differenzierung ist. Unsere Regel für diesen umgekehrten Prozess - siehe hier - lautet nun bei xn: Erhöhung der Potenz um eins, und Division durch die gleiche Zahl wie diese erhöhte Potenz. Das heißt, $x^2\, dx$ wird * zu $\frac{1}{3} x^3$ geändert. Setzen Sie dies in die Gleichung ein; vergessen Sie aber nicht, die Integrationskonstante $C$ am Ende hinzuzufügen. Wir erhalten also:
\[ y = \tfrac{1}{3} x^3 + C. \]
Sie haben die Integration tatsächlich durchgeführt. Wie einfach!
* Sie fragen sich vielleicht, was aus dem kleinen dx am Ende geworden ist? Nun, denken Sie daran, dass es eigentlich Teil des Differentialkoeffizienten war und, wenn es auf die rechte Seite gebracht wird, wie in $x^2\, dx$, es als Erinnerung dafür dient, dass x die unabhängige Variable ist, in Bezug auf die die Operation ausgeführt werden soll; und als Ergebnis der Aufsummierung des Produkts hat sich die Potenz von x um eins erhöht. Damit werden Sie bald vertraut sein.
Lassen Sie uns einen anderen einfachen Fall versuchen.
Sei
\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{12}, \end{align*}
wobei a ein beliebiger konstanter Multiplikator ist. Nun, wir haben beim Differenzieren (siehe hier) festgestellt, dass jeder konstante Faktor im Wert von y unverändert im Wert von $\dfrac{dy}{dx}$ wieder auftaucht. Im umgekehrten Prozess des Integrierens wird er also auch im Wert von y wieder auftauchen. Wir können also wie bisher vorgehen, also
\begin{align*} dy &= ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx,\\\ y &= a \times \tfrac{1}{13} x^{13} + C. \end{align*}
Das wäre also geschafft. Wie einfach!
Wir beginnen nun zu begreifen, dass das Integrieren ein Prozess des Zurückfindens ist, im Gegensatz zum Differenzieren. Wenn wir beim Differenzieren einmal einen bestimmten Ausdruck gefunden haben - in diesem Beispiel $ax^{12}$, können wir zu dem y zurückfinden, von dem er abgeleitet wurde. Der Gegensatz zwischen den beiden Verfahren mag durch die folgende Bemerkung veranschaulicht werden, die auf einen bekannten Lehrer zurückgeht. Wenn man einen Fremden am Trafalgar Square absetzt und ihm sagt, er solle den Weg zur Euston Station finden, könnte er die Aufgabe für hoffnungslos halten. Aber wenn er zuvor persönlich von der Euston Station zum Trafalgar Square geführt worden wäre, würde es ihm vergleichsweise leicht fallen, den Weg zurück zur Euston Station zu finden.