Inhaltsverzeichnis Datenschutz Impressum

Zweiter Differentialkoeffizient von Sinus oder Cosinus

Wir haben gesehen, dass, wenn $\sin\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $\cos\theta$ wird; und dass, wenn $\cos\theta$ nach $\theta$ differenziert wird, es zu $-\sin\theta$ wird; oder, in Symbolen können wir für die zweite Differenzierung von $\sin\theta$ daher folgendes schreiben,

\[ \frac{d^2(\sin \theta)}{d\theta^2} = -\sin \theta. \]

Also haben wir dieses merkwürdige Ergebnis, dass wir eine Funktion gefunden haben, bei der wir, wenn wir sie zweimal differenzieren, dasselbe Ergebnis erhalten, von dem wir ausgegangen sind, jedoch mit geändertem Vorzeichen von $+$ auf $-$.

?

Das gleiche gilt für den Kosinus; denn die Differenzierung von $\cos\theta$ gibt uns $-\sin\theta$, und die Differenzierung von $-\sin\theta$ gibt uns $-\cos\theta$; so:

\[ \frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta. \]

Sinus und Kosinus sind die einzigen Funktionen, bei denen der zweite Differentialkoeffizient gleich (und mit entgegengesetztem Vorzeichen) der ursprünglichen Funktion ist.

Beispiele Mit dem, was wir bisher gelernt haben, können wir nun komplexere Ausdrücke differenzieren.

(1) $y=\arcsin x$.

Wenn y der arc (Bogen) ist, dessen Sinus x ist, dann ist $x = \sin y$.

\[ \frac{dx}{dy}=\cos y. \]

Wenn wir nun von der inversen Funktion zur ursprünglichen übergehen, erhalten wir

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \\ \text{Jetzt }\; \cos y &= \sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}; \\ \text{daher }\; \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \end{align*}

ein eher unerwartetes Ergebnis.

(2) $y=\cos^3 \theta$.

Das ist dasselbe, wie $y=(\cos \theta)^3$.

Sei $\cos\theta=v$; dann ist $y=v^3$; $\dfrac{dy}{dv}=3v^2$.

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} \times \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align*}

(3) $y=\sin(x+a)$.

Sei $x+a=v$; dann ist $y=\sin v$.

\[ \frac{dy}{dv}=\cos v;\qquad \frac{dv}{dx}=1 \quad\text{und}\quad \frac{dy}{dx}=\cos(x+a). \]

(4) $y=\log_\epsilon \sin \theta$.

Sei $\sin\theta=v$; $y=\log_\epsilon v$.

\begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} \times \cos\theta = \cot\theta. \end{align*}

(5) $y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$.

\begin{align*} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{cosec}^2 \theta. \end{align*}

(6) $y=\tan 3\theta$.

Let $3\theta=v$; $y=\tan v$; $\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v$.

\[ \frac{dv}{d\theta}=3;\quad \frac{dy}{d\theta}=3 \sec^2 3\theta. \]

(7) $y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}$; $y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}$.

Sei $3\tan^2\theta=v$.

\begin{align*} y &= (1+v)^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \end{align*}

(siehe hier);

\begin{align*} \frac{dv}{d\theta} &= 6\tan\theta \sec^2 \theta \\ \end{align*}

denn, wenn $\tan \theta = u$,

\begin{align*} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \\ \text{ dann } \frac{dv}{d\theta} &= 6 (\tan \theta \sec^2 \theta) \\ \text{ und } \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align*}

(8) $y=\sin x \cos x$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x \times \cos x \\ &= \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align*}

Übungen XIV

(1) Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

\begin{align*} \text{(i)}\quad y &= A \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right).\\ \text{(ii)}\quad y &= \sin^2 \theta;\quad \text{und } y = \sin 2\theta.\\ \text{(iii)}\quad y &= \sin^3 \theta;\quad \text{und } y = \sin 3\theta. \end{align*}

(2) Bestimme Sie den Wert von $\theta$, für den $\sin\theta \times \cos\theta$ ein Maximum ist.

(3) Differenzieren Sie $y=\dfrac{1}{2\pi} \cos 2\pi nt$.

(4) Wenn $y = \sin a^x$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$.

(5) Differenzieren Sie $y=\log_\epsilon \cos x$.

(6) Differenzieren Sie $y=18.2 \sin(x+26^{\circ})$.

(7) Zeichnen Sie die Kurve $y=100 \sin(\theta-15^{\circ})$; und zeigen Sie, dass die Steigung der Kurve bei $\theta = 75^{\circ}$ die halbe maximale Steigung hat.

(8) Wenn $y=\sin \theta \cdot \sin 2\theta$ ist, bestimmen Sie $\dfrac{dy}{d\theta}$.

(9) Wenn $y=a \cdot \tan^m(\theta^n)$ ist, bestimmen Sie den Differential Koeffizienten von y in Bezug auf $\theta$.

(10) Differenzieren Sie $y=\epsilon^x \sin^2 x$.

(11) Differenzieren Sie die drei Gleichungen aus Übung XIII. (hier), Nr. 4, und vergleichen ihre Differentialkoeffizienten, ob sie für sehr kleine Werte von x oder für sehr große Werte von x oder für Werte von x in der Umgebung von $x= 30$ gleich oder nahezu gleich sind.

(12) Differenzieren Sie die folgenden Ausdrücke:

\begin{align*} \text{(i)}\quad y &= \sec x. \\ \text{(ii)}\quad y &= \arccos x. \\ \text{(iii)}\quad y &= \arctan x. \\ \text{(iv)}\quad y &= \text{arcsec} x. \\ \text{(v)}\quad y &= \tan x \times \sqrt{3 \sec x}. && \end{align*}

(13) Differenzieren Sie $y=\sin(2\theta +3)^{2.3}$.

(14) Differenzieren Sie $y=\theta^3+3 \sin(\theta+3)-3^{\sin \theta} - 3^\theta$.

(15) Bestimmen Sie das Maximum oder Minimum von $y=\theta \cos \theta$.

Antworten

(1) (i) $\dfrac{dy}{d\theta} = A \cos \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right)$;

(ii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta \cos\theta = \sin2\theta$ und $\dfrac{dy}{d\theta} = 2\cos2\theta$;

(iii) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta \cos\theta$ und $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos3\theta$.

(2) $\theta = 45^{\circ}$ oder $\dfrac{\pi}{4}$ rad.

(3) $\dfrac{dy}{dt} = -n \sin 2\pi nt$.

(4) $a^x \log_\epsilon a \cos a^x$.

(5) $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \text{cotan}\; x$

(6) $18,2 \cos \left(x + 26^{\circ} \right)$.

(7) Die Steigung ist $\dfrac{dy}{d\theta} = 100\cos\left(\theta - 15^{\circ} \right)$, was ein Maximum ist wenn $(\theta -15^{\circ}) = 0$, oder $\theta = 15^{\circ}$ ist; der Wert der Steigung ist dann ${}= 100$. Wenn $\theta = 75^{\circ}$ ist die Steigung dann $100\cos(75^{\circ} - 15^{\circ}) = 100\cos 60^{\circ} = 100 \times \frac{1}{2} = 50$.

(8) $\begin{aligned}[t] \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{aligned}$

(9) $amn\theta^{n-1} \tan^{m-1}\left(\theta^n\right)\sec^2 \theta^n$.

(10) $\epsilon^x \left(\sin^2 x + \sin2x\right)$; ? ? $\epsilon^x \left(\sin^2 x + 2\sin2x + 2\cos2x\right)$.

(11) $\left(i\right) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ab}{\left(x + b\right)^2}$; ? ? (ii) $\dfrac{a}{b} \epsilon^{-\frac{x}{b}}$; ? ? (iii) $\dfrac{1}{90}^{\circ} \times \dfrac{ab}{\left(b^2 + x^2\right)}$.

(12) (i) $\dfrac{dy}{dx} = \sec x \tan x$; (ii) $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - x^2}}$; (iii) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ 1 + x^2}$; (iv) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{ x^2 - 1}}$; (v) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{ 3\sec x} \left(3\sec^2 x - 1\right)}{2}$.

(13) $\dfrac{dy}{d\theta} = 4.6\left(2\theta + 3\right)^{1.3} \cos\left(2\theta + 3\right)^{2.3}$.

(14) $\dfrac{dy}{d\theta} = 3\theta^2 + 3\cos \left( \theta + 3 \right) - \log_\epsilon 3 \left( \cos\theta \times 3^{\sin\theta} + 3\theta \right)$.

(15) $\theta = \cot\theta; \theta = \pm 0,86$; ist max. für $+\theta$, min. für $-\theta$.