Einige der wichtigsten Probleme des Calculus sind diejenigen, bei denen die Zeit die unabhängige Variable ist, und wir uns über die Werte einer anderen Größe, die variiert, wenn die Zeit variiert, Gedanken machen müssen. Manche Dinge werden mit der Zeit größer; andere Dinge werden kleiner. Die Entfernung, die ein Zug von seinem Startpunkt hat, nimmt mit der Zeit immer weiter zu. Bäume werden im Laufe der Jahre größer. Welches wächst mit der größeren Rate; eine Pflanze die 12 cm hoch ist und die in einem Monat auf 14 cm hochwächst, oder ein Baum der 12 m hoch ist, und der in einem Jahr 14 m hoch seien wird?
In diesem Kapitel werden wir viel Gebrauch von dem Wort Rate machen. Das hat nichts zu tun mit Armen Rate (außer dass auch hier das Wort einen Anteil - ein Verhältnis - beschreibt). Es hat auch nichts mit Geburtenrate oder Sterblichkeitsrate zu tun, obwohl diese Worte so viele Geburten oder Todesfälle pro tausend Einwohner vermuten lassen. Wenn ein Auto an uns vorbeifliegt, sagen wir: Was für eine Geschwindigkeit! Wenn ein Verschwender sein Geld verschleudert, bemerken wir, dass dieser junge Mann mit einer erstaunlichen Geschwindigkeit lebt.
Was meinen wir mit Rate? In beiden Fällen machen wir einen gedanklichen Vergleich von etwas, das passiert, und der Länge der Zeit, die es braucht, um zu geschehen. Wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde an uns vorbeirauscht, können wir mit ein bisschen Nachdenken herausfinden, dass dies - solange es dauert - einer Rate von 600 Meter pro Minute oder über 36 Kilometer pro Stunde entspricht.
Inwiefern entspricht eine Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde 600 Meter pro Minute? Weder sind 10 Meter dasselbe wie 600 Meter, noch ist eine Sekunde das Gleiche wie eine Minute. Was wir damit meinen ist, dass die Rate die gleiche ist, den es gilt folgendes: Das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit, die benötigt wird, um sie zu überwinden, ist in beiden Fällen gleich.
Nehmen wir ein anderes Beispiel. Ein Mann hat möglicherweise nur ein paar Euro in seinem Besitz und kann dennoch Geld in Millionenhöhe pro Jahr ausgeben - vorausgesetzt, er gibt nur einige Minuten lang Geld in dieser Höhe aus. Dazu stellen wir uns folgende Situation vor, Sie gehen einkaufen, um die Waren zu bezahlen, reichen Sie einen 1 Euro Münze über den Ladentisch und wir nehmen an, dieser Vorgang dauert genau eine Sekunde. Während dieses kurzen Vorgangs trennen Sie sich dann, mit einer Rate von 1 Euro pro Sekunde von Ihrem Geld, was der gleichen Rate wie 60 Euro pro Minute oder 3600 Euro pro Stunde oder 86400 Euro pro Tag entspricht oder 3153600 pro Jahr! Wenn Sie 200 Euro in der Tasche haben, können Sie weiterhin Geld in Millionenhöhe pro Jahr ausgeben, aber nur für $3\frac{1}{3}$ Minuten.
Es wird gesagt, dass der Schotte Sandy nicht länger als fünf Minuten in London war, als Bang went saxpence -- Und auf einmal waren 6 Pence weg, eine Redewendung die für die Beschreibung von hohen Preisen genutzt wird.
Hinweis: Damals entsprachen 12 Pence einem Shilling und 20 Shilling entsprachen einem Pfund. Das bedeutet, 1 Pfund waren 20 Shilling beziehungsweise 240 Pence. Heutzutage entspricht 1 Pfund 100 Pence.
Wenn er den ganzen Tag Geld in dieser Höhe ausgeben würde, beispielsweise für 12 Stunden, wie viel würde er in einer Woche, ohne den Sonntag mitgezählt, ausgeben?
Er hat also in 5 Minuten 6 Pence ausgeben, was bedeutet das er 72 Pence beziehungsweise 6 Shilling in der Stunde ausgibt. Und damit 72 Shilling beziehungsweise 3 ? 12 s. pro Tag und $21$ ? 12 s. in einer Woche
Versuchen Sie nun, einige dieser Ideen in Differentialschreibweise zu setzen.
Sei y in diesem Fall das Geld und t steht für die Zeit.
Wenn Sie Geld ausgeben und der Betrag, den Sie in kurzer Zeit ausgeben, dy genannt wird, beträgt die Rate der Ausgaben $ \dfrac{dy}{dt}$ oder besser gesagt sollte es mit einem Minuszeichen als $ - \dfrac{dy}{dt}$ geschrieben werden, da dy ein Dekrement und kein Inkrement ist. Aber Geld ist kein gutes Beispiel für den Calculus, da es im Allgemeinen sprunghaft kommt und geht. Sie verdienen vielleicht 2 ? im Jahr, aber das Geld erhalten Sie nicht in der Form eines kontinuierlichen Zuflusses über den ganzen Tag verteilt, sondern Sie erhalten es wöchentlich oder monatlich oder vierteljährlich in einem Batzen; ebenso fallen Ihre Ausgaben nicht in der Form eines kontinuierlichen Abflusses an Geld an, sondern in Form von geballten plötzlichen Zahlungen.
Eine passendere Darstellung für Idee der Rate liefert die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers. Von London (Euston Station) nach Liverpool sind es knapp 280 Kilometer. Wenn ein Zug London um 7 Uhr verlässt und Liverpool um kurz nach 9 Uhr erreicht, wissen Sie, dass seine Durchschnittsgeschwindigkeit etwa 140 Kilometer pro Stunde betragen muss, da er in 2 Stunden 280 Kilometer zurückgelegt hat. Und $\frac{280}{2} = \frac{140}{1} $. Hier machen Sie einen gedanklichen Vergleich zwischen der zurückgelegten Strecke und der Zeit, die benötigt wird, um diese zu überwinden. Sie teilen diese Werte durch einander. Wenn y die gesamte Entfernung und t die gesamte Zeit ist, beträgt die durchschnittliche Rate $ \dfrac{y}{t} $. Dabei war die Geschwindigkeit nicht konstant: Beim Start und beim Abbremsen am Ende der Fahrt war die Geschwindigkeit geringer. Wahrscheinlich lag die Geschwindigkeit beim Bergabfahren irgendwann über 160 Kilometer pro Stunde. Wenn während eines bestimmten Zeitelements dt das entsprechende Element der zurückgelegten Entfernung dy war, dann war an diesem Teil der Reise die Geschwindigkeit $ \dfrac{dy}{dt} $. Die Rate, mit der sich eine Größe (im vorliegenden Fall Entfernung) im Verhältnis zur anderen Menge ändert (in diesem Fall Zeit) wird dann, indem der Differentialkoeffizient von einem in Bezug auf den anderen angegeben wird richtig ausgedrückt. Eine wissenschaftlich ausgedrückte Geschwindigkeit ist die Rate, mit der eine sehr kleine Entfernung in einer bestimmten Richtung zurückgelegt wird. Und kann daher geschrieben werden als
\[ v = \dfrac{dy}{dt}. \]
Wenn die Geschwindigkeit v jedoch nicht gleichmäßig ist, muss sie entweder zunehmen oder abnehmen. Die Rate, mit der eine Geschwindigkeit zunimmt, wird als Beschleunigung bezeichnet. Wenn ein sich bewegender Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt eine zusätzliche Geschwindigkeit $ dv $ in einem Zeitelement dt erhält, kann die Beschleunigung a zu diesem Zeitpunkt so geschrieben werden
\[ a = \dfrac{dv}{dt}; \]
aber $dv$ ist selbst $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$. Daher können wir es so schreiben
\[ a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt}; \]
und dies wird normalerweise, als $ a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$ geschrieben; anders ausgedrückt die Beschleunigung ist der zweite Differenzkoeffizient der Entfernung in Bezug auf die Zeit. Die Beschleunigung wird als Änderung der Geschwindigkeit in Zeiteinheiten ausgedrückt, beispielsweise als so viele Meter pro Sekunde pro Sekunde; die verwendete Notation ist Meter ÷ Sekunde2.
Wenn sich ein Eisenbahnzug gerade in Bewegung gesetzt hat, ist seine Geschwindigkeit v gering. Aber er gewinnt schnell an Geschwindigkeit - er wird durch die Anstrengung des Motors beschleunigt. Sein $\dfrac{d^2y}{dt^2} $ ist also groß. Wenn er seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, wird er nicht mehr beschleunigt, so dass $ \dfrac{d^2y}{dt^2} $ auf null gefallen ist. Aber wenn er sich seinem Haltepunkt nähert, beginnt sich seine Geschwindigkeit zu verlangsamen; wenn die Bremsen angezogen werden, reduziert sich die Geschwindigkeit des Zuges merklich und während dieser Zeit der Verzögerung oder des Abnehmens des Tempos ist der Wert von $ \dfrac{dv}{dt} $, d. h. von $\dfrac{d^2y}{dt^2} $ negativ.
Um eine Masse m zu beschleunigen, muss eine kontinuierliche Kraft angewendet werden. Die zum Beschleunigen einer Masse erforderliche Kraft ist proportional zur Masse und auch proportional zur Beschleunigung, die übertragen wird. Daher können wir für die Kraft f den Ausdruck
\begin{align*} f &= ma;\\ \text{bzw. }\;\; f &= m \frac{dv}{dt}; \\ \text{bzw. }\;\; f &= m \frac{d^2y}{dt^2} \end{align*}
schreiben.
Das Produkt einer Masse mit der Geschwindigkeit, mit der sie sich bewegt, wird als Impuls bezeichnet und wird in Symbolschreibweise als $ mv $(Masse $\cdot $ Geschwindigkeit) geschrieben. Wenn wir den Impuls in Bezug auf die Zeit differenzieren, erhalten wir $ \dfrac{d(mv)}{dt} $ für die Änderungsrate des Impulses. Da m jedoch eine konstante Größe ist, kann dies $ m \dfrac{dv}{dt}$ geschrieben werden, und wie wir oben sehen, ist das dasselbe wie f. Das heißt, Kraft kann entweder als Masse mal Beschleunigung oder als Änderungsrate des Impulses ausgedrückt werden.
Wenn eine Kraft angewendet wird, um etwas zu bewegen (gegen eine gleiche und entgegengesetzte Gegenkraft), verrichtet sie Arbeit. Und die Menge der geleisteten Arbeit wird durch das Produkt der Kraft in die Entfernung (in ihrer eigenen Richtung) gemessen, durch die sich ihr Angriffspunkt vorwärts bewegt. Wenn sich also eine Kraft f um eine Länge y vorwärts bewegt, ist die geleistete Arbeit (die wir w nennen können)
w = f × y
wobei wir f als konstante Kraft annehmen. Wenn die Kraft an verschiedenen Stellen des Bereichs y variiert, müssen wir von Punkt zu Punkt einen Ausdruck für ihren Wert finden. Wenn f die Kraft entlang des kleinen Elements der Länge dy ist, beträgt der Arbeitsaufwand f × dy. Da dy nur ein Element der Länge ist, wird nur ein Element der Arbeit erledigt. Wenn wir w für die Arbeit schreiben, ist ein Element der Arbeit dw; und wir haben
dw = f × dy
was so geschrieben werden kann
\begin{align*} dw &= ma \cdot dy; \\ \text{ bzw. }\; dw &= m \frac{d^2y}{dt^2} \cdot dy; \\ \text{ bzw. }\; dw &= m \frac{dv}{dt} \cdot dy. \\ \end{align*}
Weiter können wir den Ausdruck umformen und schreiben
\begin{align*} \frac{dw}{dy} &= f. \end{align*}
Dies gibt uns eine dritte Definition von Kraft ; dass, wenn sie verwendet wird, um eine Verschiebung in eine beliebige Richtung zu erzeugen, die Kraft (in dieser Richtung) gleich der Rate ist, mit der pro Längeneinheit in dieser Richtung gearbeitet wird. In diesem letzten Satz wird das Wort Rate eindeutig nicht in seinem Zeitsinn verwendet, sondern in seiner Bedeutung als Verhältnis oder Anteil.
Sir Isaac Newton, der zusammen mit Leibniz als Erfinder der Methoden des Calculus gilt, betrachtete alle Größen, die variierten, als fließend und das Verhältnis, das wir heutzutage den Differentialkoeffizienten nennen, betrachtete er als Fließgeschwindigkeit oder Fluxion der fraglichen Menge. Er benutzte nicht die Notation von dy und dx und dt diese Notation ist Leibnitz zu verdanken, sondern hatte stattdessen eine eigene Notation. Wenn y eine Größe war, die variierte oder "floss", dann war sein Symbol für seine Variationsrate (oder "Fluxion") ẏ. Wenn x die Variable war, wurde ihr Fluss ẋ genannt. Der Punkt über dem Buchstaben zeigte an, dass er differenziert worden war. Diese Notation sagt uns jedoch nicht, was die unabhängige Variable ist, in Bezug auf die die Differenzierung vorgenommen wurde. Wenn wir $ \dfrac{dy}{dt} $ sehen, wissen wir, dass y in Bezug auf t zu differenzieren ist. Wenn wir $ \dfrac{dy}{dx} $ sehen, wissen wir, dass y in Bezug auf x zu differenzieren ist. Wenn wir jedoch nur ẏ sehen, können wir nicht sagen, ohne den Kontext zu betrachten, ob dies $ \dfrac{dy}{dx} $ oder $ \dfrac{dy}{dt} $ oder $\dfrac{dy}{dz} $ oder eine ganz andere Variable bedeuten soll. Daher ist diese Flussnotation weniger informativ als die Differentialnotation und wird infolgedessen kaum noch verwendet. Aber seine Einfachheit hat einen Vorteil, wenn wir uns darauf einigen, ihn ausschließlich für die Fälle zu verwenden, in denen Zeit die unabhängige Variable ist. In diesem Fall bedeutet ẏ $ \dfrac{dy}{dt} $ und $ \dot{u} $ bedeutet $ \dfrac{du}{dt} $; und $ \ddot{x} $ bedeutet $ \dfrac{d^2x}{dt^2} $.
Wenn wir diese Flussnotation anwenden, können wir die in den obigen Absätzen gezeigten Gleichungen wie folgt schreiben:
| Distanz | x |
| Geschwindigkeit | $v = \dot{x}$ |
| Beschleunigung | $a = \dot{v} = \ddot{x}$ |
| Kraft | $f = m\dot{v} = m\ddot{x}$ |
| Arbeit | $w = x \times m \ddot{x}$ |
Beispiel
(1) Ein Körper bewegt sich so, dass die Entfernung x (in Meter), die er von einem bestimmten Punkt O zurücklegt, durch die Beziehung $ x = 0,2t^{2} + 10,4 $ gegeben ist, wobei t ist die Zeit in Sekunden, die seit einem bestimmten Moment vergangen ist. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung $ 5 $ Sekunden, nachdem sich der Körper zu bewegen begann, und bestimmen Sie die entsprechenden Werte, wenn die zurückgelegte Strecke 100 Meter beträgt. Bestimmen Sie auch die Durchschnittsgeschwindigkeit während der ersten 10 Sekunden seiner Bewegung. Angenommen, Entfernungen und Bewegungen nach rechts sind positiv.
Also
\[ x = 0,2t^2 + 10,4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0,4t;\quad\text{und}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{konstant.} \]
Wenn t = 0, ist x = 10,4 und v = 0. Der Körper startete von einem Punkt 10,4 Meter rechts vom Punkt O; und die Zeit wurde von dem Moment an gerechnet, an dem der Körper anfing, sich zu bewegen.
Wenn t = 5, v = 0,4 × 5 = 2 m ⁄ s; a = 0,4 m ⁄ sec2.
Wenn x = 100, 100 = 0,2t2 + 10,4, bzw. t2 = 448, und t = 21,17 s; v = 0,4 × 21,17 = 8,47 m ⁄ s
Wenn t = 10,
Zurückgelegte Distanz = 0,2 × 102 + 10,4 - 10,4 = 20 m
Durchschnittliche Geschwindigkeit = 20 ⁄ 10 = 2 m ⁄ s
Es ist die gleiche Geschwindigkeit wie die Geschwindigkeit in der Mitte des Intervalls, t = 5 ; da die Beschleunigung konstant ist, hat sich die Geschwindigkeit gleichmäßig von null kommend geändert, von t = 0 bis 4 m ⁄ s wenn t = 10 ist.
(2) Nehmen wir im obigen Problem an das
\begin{gather*} x = 0,2t^2 + 3t + 10,4 \text{ gilt.}\\ v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0,4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0,4 = \text{Konstant} \end{gather*}
Wenn t = 0, x = 10,4 und v = 3 m ⁄ s ist, wird die Zeit ab dem Zeitpunkt berechnet, an dem der Körper einen Punkt 10,4 Meter vom Punkt O, passiert hat, dann ist seine Geschwindigkeit schon 3 m ⁄ s. Um die Zeit zu ermitteln, die seit dem Beginn der Bewegung vergangen ist, setzen Sie v = 0; dann ist 0,4t + 3 = 0 , $ t = - \frac{3}{0,4} = -7,5 $ Sekunden. Der Körper begann sich, 7,5 Sekunden bevor begonnen wurde die Zeit zu beobachten, zu bewegen. 5 Sekunden danach ergibt t = -2,5 und v = 0,4 × (-2,5) + 3 = 2 m ⁄ s.
Wenn x = 100 m,
100 = 0,2t2 + 3t + 10,4; bzw. t2 + 15t - 448 = 0;
Dann t = 14,96 s, v = 0,4 × 14,95 + 3 = 8,98 m ⁄ s.
Um die zurückgelegte Strecke während der ersten 10 Sekunden der Bewegung zu ermitteln, muss man wissen, wie weit der Körper vom Punkt O entfernt war, als er die Bewegung begann.
Wenn t = -7,5,
x = 0,2 × (-7,5)2 - 3 × 7,5 + 10.4 = -0,85 m.
Das ist 0,85 m links vom Punkt $O$.
Zum Zeitpunkt t = 2,5 gilt dann,
x = 0,2 × 2,52 + 3 × 2,5 + 10,4 = 19,15.
Innerhalb von 10 Sekunden wurde, eine Distanz von 19,15 + 0,85 = 20 m zurückgeleget, und
die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt = 20 ⁄ 10 = 2 m ⁄ s.
(3) Betrachten Sie ein ähnliches Problem, wenn die Distanz durch x = 0,2 t2 - 3 t + 10,4 gegeben ist. Dann ist v = 0,4t - 3, a = 0,4 = Konstante. Wenn t = 0, x = 10,4 wie zuvor und v = -3 gilt; so dass sich der Körper in die entgegengesetzte Richtung bewegte, in Bezug auf die vorhergehenden Fällen. Da die Beschleunigung jedoch positiv ist, sehen wir, dass diese Geschwindigkeit im Laufe der Zeit abnimmt, bis sie null wird, wenn v = 0 oder 0,4t - 3 = 0; beziehungsweise bei t = 7,5 Sekunden. Danach wird die Geschwindigkeit positiv; und 5 Sekunden nach dem Start des Körpers, zum Zeitpunkt t = 12,5 ist
v = 0,4 × 12,5 - 3 = 2 m ⁄ s.
Wenn x = 100,
100 = 0,2t2 - 3t + 10,4, bzw. t2 - 15t - 448 = 0,
und t = 29,95; v = 0,4 × 29,95 - 3 = 8,98 m ⁄ s
Wenn v null ist, x = 0,2 × 7,52 - 3 × 7,5 + 10,4 = -0,85, zeigt uns das, dass der Körper sich um 0,85 m über den Punkt $O$ hinaus zurückbewegt hat, bevor er stoppt. Zehn Sekunden später
t = 17,5 und x = 0,2 × 17,52 - 3 × 17,5 + 10,4 = 19,15.
Zurückgelegte Distanz = 0,85 + 19,15 = 20,0, und die durchschnittliche Geschwindigkeit ist wieder 2 m ⁄s.
(4) Betrachte Sie noch ein anderes Problem von dieser Art, mit x = 0,2t3 - 3t2 + 10,4; v = 0,6t2 - 6t; a = 1,2t - 6. Die Beschleunigung ist nicht konstant.
Wenn t = 0, x = 10,4, v = 0, a = -6 gilt, befindet sich der Körper zwar im Ruhezustand, aber ist bereit sich mit einer negativen Beschleunigung zu bewegen, d.h. Geschwindigkeit in Richtung des Punktes $O$ zu gewinnen / aufzubauen.
(5) Wenn wir x = 0,2t3 - 3t + 10,4 haben, dann ist v = 0,6t2 - 3, und a = 1,2t.
Wenn t = 0 ist, dann folgt daraus x = 10,4; v = -3; a = 0.
Der Körper bewegt sich auf den Punkt $O$ mit einer Geschwindigkeit von 3 m ⁄ s zu, und gerade in diesem Moment ist die Geschwindigkeit gleichmäßig.
Wir sehen, dass die Bewegungsbedingungen immer sofort aus der Zeit-Distanz-Gleichung und ihren ersten und zweiten abgeleiteten Funktionen ermittelt werden können. In den letzten beiden Fällen ist die mittlere Geschwindigkeit während der ersten 10 Sekunden und die Geschwindigkeit 5 Sekunden nach dem Start nicht mehr dieselbe, da die Geschwindigkeit nicht gleichmäßig ansteigt und die Beschleunigung nicht mehr konstant ist.
(6) Der Winkel θ (im Bogenmaß), um den sich ein Rad dreht, ist gegeben durch θ = 3 + 2t - 0,1t3, wobei t die Zeit in Sekunden ab einem bestimmten Zeitpunkt ist; Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω und die Winkelbeschleunigung α ( a ) nach 1 Sekunde. ( b ) nach einer Umdrehung. Zu welchem Zeitpunkt befindet sich das Rad im Ruhezustand und wie viele Umdrehungen hat es bis zu diesem Zeitpunkt ausgeführt?
Für die Beschleunigung schreiben wir
\[ \omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0,3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0,6t. \]
Im Zeitpunkt t = 0 sind θ = 3; ω = 2 rad ⁄ s; α = 0.
Im Zeitpunkt t = 1,
ω = 2 - 0,3 = 1,7 rad ⁄ s; α = -0,6 rad ⁄ s2.
Dies ist eine Verzögerung; das Rad wird langsamer.
Nach 1 Umdrehung
θ = 2π = 6,28; 6,28 = 3 + 2t - 0,1t3.
Durch Zeichnen des Graphen von θ = 3 + 2t - 0,1t3 können wir den Wert oder die Werte von t bestimmen, für die θ = 6,28 ist; dies sind 2,11 und 3,03 (es gibt noch einen dritten negativen Wert).
Im Fall von t = 2,11,
θ = 6,28; ω = 2 - 1,34 = 0,66 rad ⁄ s
α = -1,27 rad ⁄ s2.
Im Fall von t = 3,03,
θ = 6,28; ω = 2 - 2,754 = -0,754 rad ⁄ s
α = -1,82 rad ⁄ s2.
Da das Vorzeichen für die Geschwindigkeit wechselt, ruht das Rad zwischen diesen beiden Augenblicken; es ist in Ruhe, wenn ω = 0, d.h. wenn 0 = 2 - 0,3 t3, oder wenn t = 2,58 s gilt.
\[ \frac{\theta}{2\pi} = \frac{3 + 2 \times 2,58 - 0.1 \times 2,58^3}{6.28} = 1,025 \text{ Umdrehungen}. \]
(1)Wenn y = a + bt2 + ct4 ist; Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dt}$ und $\dfrac{d^2y}{dt^2}$.
(2) Ein Körper, der sich im freien Fall befindet, durchquert in t Sekunden einen Raum S, dies lässt sich, durch die Gleichung S = 16t2 ausdrücken. Zeichnen Sie eine Kurve, die die Beziehung zwischen S und t zeigt. Bestimmen Sie auch die Geschwindigkeit des Körpers zu den folgenden Zeiten, nachdem er fallen gelassen wird: t = 2 Sekunden; t = 4,6 Sekunden; t = 0,01 Sekunden.
(3) $x = at - \frac{1}{2}gt^2$; Bestimmen Sie ẋ und ẍ.
(4) Wenn sich ein Körper nach der folgenden Gesetzmäßigkeit bewegt:
s = 12 - 4,5t + 6,2t2
Bestimmen Sie, zum Zeitpunkt t = 4 Sekunden seine Geschwindigkeit; s ist in Meter.
(5) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Körpers, die im vorhergehenden Beispiel erwähnt wurde. Ist die Beschleunigung für alle Werte von t gleich?
(6) Der Winkel θ (im Bogenmaß), mit dem sich ein Rad dreht, hängt mit der Zeit t (in Sekunden) zusammen, die seit dem Start vergangen ist. Der Zusammenhang lässt sich schreiben als:
θ = 2,1 - 3,2t + 4,8t2.
Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit (im Bogenmaß pro Sekunde) dieses Rads, wenn $ 1 \frac{1}{2} $ Sekunden verstrichen sind. Bestimmen Sie auch seine Winkelbeschleunigung.
(7) Ein Schieberegler bewegt sich so, dass während des ersten Teils seiner Bewegung sein Abstand s in cm von seinem Startpunkt durch den Ausdruck gegeben ist
s = 6,8t3 - 10,8t; t in Sekunden.
Bestimmen Sie den Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt; und bestimmen Sie dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach 3 Sekunden.
(8) Die Bewegung eines aufsteigenden Ballons ist so, dass seine Höhe h, in Kilometer, zu jedem Zeitpunkt durch den Ausdruck $h = 0,5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$ gegeben ist. Mit t in Sekunden.
Ermitteln Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt. Zeichnen Sie Kurven, um die Variation von Höhe, Geschwindigkeit und Beschleunigung während der ersten zehn Minuten des Aufstiegs zu zeigen.
(9) Ein Stein wird (nach unten) ins Wasser geworfen und seine Tiefe $p$ in Meter nach Erreichen der Wasseroberfläche (d.h. er befindet sich im Wasser) wird durch folgenden Ausdruck, der von der Zeit t in Sekunden nach Eintritt in das Wasser abhängt, bestimmt
\[ p = \frac{4}{4+t^2} + 0,8t - 1. \]
Bestimmen Sie den Ausdruck für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt; und bestimmen Sie dann die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach 10 Sekunden.
(10) Ein Körper bewegt sich so, dass die in der Zeit t vom Start an zurückgelegte Distanz durch s = tn gegeben ist, wobei n eine Konstante ist. Bestimmen Sie den Wert von n, wenn die Geschwindigkeit zwischen der 5 (fünften) und der 10 (zehnten) Sekunde verdoppelt wird. Bestimmen Sie ein n, für das gilt, dass die Geschwindigkeit numerisch gleich der Beschleunigung am Ende der 10 -ten Sekunde ist.
(1) $\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$; $\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$.
(2) 64; 147,2; und 0,32 Meter pro Sekunde.
(3) ẋ = a - gt; ẍ = -g.
(4) 45,1 Meter pro Sekunde.
(5) 12,4 Meter pro Sekunde Quadrat (m ⁄ s2). Ja.
(6) Winkelgeschwindigkeit = 11,2 rad pro Sekunde; Winkelbeschleunigung = 9,6 rad pro Sekunde Quadrat (m ⁄ s2).
(7) v = 20,4t2 - 10,8; ? ? a = 40,8t; ? ? 172,8 cm ⁄ s; 122,4 cm ⁄ s2.
(8) $v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$, ? ? $a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.
(9) $v = 0,8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$; $a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$; 0,7926 und 0,00211.
(10) n = 2; n = 11.