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Sukzessive Differenzierung

Lassen Sie uns versuchen, herauszufinden welchen Effekt die mehrmals angewendete Differenzierung einer Funktion (siehe hier) hat. Beginnen Sie mit einem konkreten Fall.

Sei y = x5.

Erste Differenzierung, 5x4.
Zweite Differenzierung, 5 × 4x3 = 20x3.
Dritte Differenzierung, 5 × 4 × 3x2 = 60x2.
Vierte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2x = 120x.
Fünfte Differenzierung, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Sechste Differenzierung, = 0.

Es gibt eine bestimmte Notation, mit der wir bereits vertraut sind (siehe hier), die von einigen Autoren verwendet wird, diese ist sehr praktisch. Das allgemeine Symbol f(x) wird für jede Funktion von x verwendet. Das Symbol f( ) wird hier als Funktion von gelesen, ohne zu sagen, welche bestimmte Funktion gemeint ist. Die Anweisung y = f(x) sagt uns also nur, dass y eine Funktion von x ist, es kann x2 oder axn oder cos x oder eine andere komplizierte Funktion von x sein.

Das entsprechende Symbol für den Differential Koeffizienten ist f′(x), was einfacher zu schreiben ist wie $\dfrac{dy}{dx}$. Dies wird als die abgeleitete Funktion von x beziehungsweise als die nach x abgeleitete Funktion bezeichnet.

Angenommen, wir differenzieren noch einmal, wir erhalten die zweite abgeleitete Funktion oder den zweiten Differentialkoeffizienten, der mit $f"(x)$ bezeichnet wird; und so weiter.

Lassen Sie uns nun verallgemeinern.

Sei y = f(x) = xn.

Erste Ableitung, f′(x) = nxn-1.
Zweite Ableitung, f″(x) = n(n-1)xn-2.
Dritte Ableitung, f″′(x) = n(n-1)(n-2)xn-3.
Vierte Ableitung, f″″(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)xn-4.
etc., etc.

Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, aufeinanderfolgende Differenzierungen anzuzeigen. Für,

\begin{align*} \text{wenn die ursprüngliche Funktion}\; y &= f(x); \\ \text{ist, ergibt einmal differenzieren}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{und zweimal differenzieren}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*}

und das ist deutlich angenehmer zu schreiben als $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$ oder $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Ebenso können wir das Ergebnis der dritten Ableitung so $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$ schreiben.

Beispiele

Lassen Sie uns folgendes ausprobieren: $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$.

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*}

In ähnlicher Weise, wenn $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$,

\begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x \times 2x + (x^2 - 4) \times 1\bigr] = 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 \times 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}

Übungen IV

Bestimmen Sie $\dfrac{dy}{dx}$ und $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ für die folgenden Ausdrücke:

(1) y = 17x + 12x2.

(2) $y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}$.

(3) $y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3} + \dfrac{x^4}{1\times 2 \times 3 \times 4}$.

(4) Bestimmen Sie die zweite und dritte Ableitung für die Funktionen der Übung III. (hier), Nr. 1 bis Nr. 7, und für die in den Beispielen angebenden Ausdrücke (hier), Nr. 1 bis Nr. 7.

Antworten

(1) 17 + 24x; ? ? 24.

(2) $\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}$; ? ? $\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}$.

(3) $1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2} + \dfrac{x^3}{1 \times 2 \times 3}$; ? ? $1 + x + \dfrac{x^2}{1 \times 2}$.

Übungen III

(4) (Übungen III. ):

(1) (a ) $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots$.

(b ) 2a, 0.

(c ) 2, 0.

(d ) 6x + 6a, 6.

(2) -b, 0.

(3) 2, 0.

(4) 56440x3 - 196212x2 - 4488x + 8192.
169320x2 - 392424x - 4488.

(5) 2, 0.

(6)

371,80453x; 371,80453.

(7) $\dfrac{30}{(3x + 2)^3}$ ?, ? $-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}$.

Beispiel:

(1) $\dfrac{6a}{b^2} x$, ? ? $\dfrac{6a}{b^2}$.

(2) $\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}$, ? ? $\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}$.

(3) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}$, ? ? $\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}$.

(4) 810t4 - 648t3 + 479,52t2 - 139,968t + 26,64.
3240t3 - 1944t2 + 959,04t - 139,968.

(5) 12x + 2; 12.

(6) 6x2 - 9x, ? ? 12x - 9.

(7) $\begin{aligned}[t] &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{aligned}$