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Zu Doppel- und Dreifachintegralen.

In vielen Fällen ist es notwendig, einen Ausdruck für zwei oder mehr darin enthaltene Variablen zu integrieren; und in diesem Fall erscheint das Zeichen der Integration mehr als einmal. Beispiel, \[ \iint f(x,y,)\, dx\, dy \] bedeutet, dass eine Funktion der Variablen x und y, für jede Variable integriert werden muss. Dabei spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge dies geschieht. Nehmen wir also die Funktion $x^2 + y^2$. Integrieren wir sie bezüglich x, so erhalten wir: \[ \int (x^2+y^2)\, dx = \tfrac{1}{3} x^3 + xy^2. \]

Integrieren Sie dies nun bezüglich y:

\[ \int (\tfrac{1}{3} x^3 + xy^2)\, dy = \tfrac{1}{3} x^3y + \tfrac{1}{3} xy^3, \]

dazu muss natürlich noch die Konstante addiert werden. Hätten wir die Reihenfolge der Operationen umgedreht, wäre das Ergebnis dasselbe.

Bei der Behandlung von Flächen und Körpern müssen wir oft sowohl für die Länge als auch für die Breite integrieren und haben daher Integrale der Form

\[ \iint u \cdot dx\, dy, \]

wobei u eine Eigenschaft ist, die in jedem Punkt von x und von y abhängt. Dies nennt man dann ein Oberflächenintegral. Es gibt an, dass der Wert von allen Elemente wie $u \cdot dx \cdot dy$ (also der Wert von u über ein kleines Rechteck welches dx lang und dy breit ist) über die ganze Länge und die ganze Breite aufsummiert werden muss.

Gleiches gilt für den Fall von Körpern, wo wir es mit drei Dimensionen zu tun haben. Betrachten wir ein beliebiges Volumenelement, den kleinen Würfel, dessen Abmessungen dx dy $dz$ sind. Wenn die Abbildung eines Körpers durch die Funktion $f(x, y, z)$ ausgedrückt wird, dann hat der ganze Körper das Volumen-Integral,

\[ \text{Volumen} = \iiint f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz. \]

Natürlich müssen solche Integrationen zwischen geeigneten Grenzwerten (Siehe hier für die Integration zwischen Grenzwerten.) in jeder Dimension durchgeführt werden; und die Integration kann nur durchgeführt werden, wenn man weiß, in welcher Weise die Grenzen der Fläche von x, y und z abhängen. Wenn die Grenzen für x von $x_1$ bis $x_2$, die für y von $y_1$ bis $y_2$ und die für z von $z_1$ bis $z_2$ sind, dann haben wir:

\[ \text{Volumen} = \int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2} \int_{x1}^{x2} f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz. \]

Es gibt natürlich viele komplizierte und schwierige Fälle; aber im Allgemeinen ist es recht einfach, die Bedeutung der Symbole zu erkennen, wenn sie darauf hinweisen sollen, dass eine bestimmte Integration über eine gegebene Fläche oder über einen gegebenen Körper durchgeführt werden muss.

Übungen XVII

(1) Bestimmen Sie $\int y\, dx$ wenn $y^2 = 4 ax$.

(2) Bestimmen Sie $\int \frac{3}{x^4}\, dx$.

(3) Bestimmen Sie $\int \frac{1}{a} x^3\, dx$.

(4) Bestimmen Sie $\int (x^2 + a)\, dx$.

(5) Integrieren Sie $5x^{-\frac{7}{2}}$.

(6) Bestimmen Sie $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)\, dx$.

(7) Wenn $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{bx^2}{3} + \dfrac{cx^3}{4}$; bestimmen Sie y.

(8) Bestimmen Sie $\int \left(\frac{x^2 + a}{x + a}\right) dx$.

(9) Bestimmen Sie $\int (x + 3)^3\, dx$.

(10) Bestimmen Sie $\int (x + 2)(x - a)\, dx$.

(11) Bestimmen Sie $\int (\sqrt x + \sqrt[3] x) 3a^2\, dx$.

(12) Bestimmen Sie $\int (\sin \theta - \tfrac{1}{2})\, \frac{d\theta}{3}$.

(13) Bestimmen Sie $\int \cos^2 a \theta\, d\theta$.

(14) Bestimmen Sie $\int \sin^2 \theta\, d\theta$.

(15) Bestimmen Sie $\int \sin^2 a \theta\, d\theta$.

(16) Bestimmen Sie $\int \epsilon^{3x}\, dx$.

(17) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{1 + x}$.

(18) Bestimmen Sie $\int \dfrac{dx}{1 - x}$.

?

Antworten

(1) $\dfrac{4\sqrt{a} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$.

(2) $-\dfrac{1}{x^3} + C$.

(3) $\dfrac{x^4}{4a} + C$.

(4) $\tfrac{1}{3} x^3 + ax + C$.

(5) $-2x^{-\frac{5}{2}} + C$.

(6) $x^4 + x^3 + x^2 + x + C$.

(7) $\dfrac{ax^2}{4} + \dfrac{bx^3}{9} + \dfrac{cx^4}{16} + C$.

(8) $\dfrac{x^2 + a}{x + a} = x - a + \dfrac{a^2 + a}{x + a}$ durch Division. Daher ist die Antwort $\dfrac{x^2}{2} - ax + (a^2 + a)\log_\epsilon (x + a) + C$. (Siehe hier und hier.)

(9) $\dfrac{x^4}{4} + 3x^3 + \dfrac{27}{2} x^2 + 27x + C$.

(10) $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2 - a}{2} x^2 - 2ax + C$.

(11) $a^2(2x^{\frac{3}{2}} + \tfrac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}) + C$.

(12) $-\tfrac{1}{3} \cos\theta - \tfrac{1}{6} \theta + C$.

(13) $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(14) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2\theta}{4} + C$.

(15) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(16) $\tfrac{1}{3} \epsilon^{3x} +C$.

(17) $\log(1 + x) + C$.

(18) $-\log_\epsilon (1 - x) + C$.