Angenommen, in dem zu integrierenden Ausdruck gibt es einen konstanten Term - wie zum Beispiel diesen:
\[ \frac{dy}{dx} = x^n + b. \]
Das ist einfach. Denn Sie müssen sich nur daran erinnern, dass beim Differenzieren des Ausdrucks $y = ax$ das Ergebnis $\dfrac{dy}{dx} = a$ war. Wenn Sie also in die andere Richtung arbeiten und integrieren, taucht die Konstante, multipliziert mit x wieder auf. Wir erhalten also
\begin{align*} dy &= x^n\, dx + b \cdot dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align*}
Hier sind einige Beispiele, an denen Sie Ihre neu erworbenen Fähigkeiten ausprobieren können.
Examples
(1) Sei $\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}$. Bestimmen Sie y.
Antwort. $y = 2x^{12} + C$.
(2) Bestimmen Sie $\int (a + b)(x + 1)\, dx$.
Ist es $(a + b) \int (x + 1)\, dx$ oder $(a + b) \left[\int x\, dx + \int dx\right]$ oder $(a + b) \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right) + C$.
(3) Sei $\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}$. Bestimmen Sie u.
Antwort. $u = \frac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C$.
(4) $\dfrac{dy}{dx} = x^3 - x^2 + x$. Bestimmen Sie y.
\begin{align*} dy &= (x^3 - x^2 + x)\, dx\quad\text{ bzw.} \\ dy &= x^3\, dx - x^2\, dx + x\, dx;\quad y = \int x^3\, dx - \int x^2\, dx + \int x\, dx; \end{align*} und \begin{align*} y &= \tfrac{1}{4} x^4 - \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{2} x^2 + C. \end{align*}
(5) Integrieren Sie $9,75x^{2,25}\, dx$.
Antwort . $y = 3x^{3,25} + C$.
Die sind einfach genug. Lassen Sie uns einen anderen Fall versuchen.
Beginnen wir. Sei
\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align*}
Wir verfahren wie bisher und schreiben
\[ dy = a x^{-1} - dx,\quad \int dy = a \int x^{-1}\, dx. \]
Gut, aber was ist das Integral von $x^{-1}\, dx$?
Wenn Sie auf die Ergebnisse des Differenzierens von x2 und x3 und xn usw. zurückblicken, werden Sie feststellen, dass wir nie $x^{-1}$ aus irgendeinem von ihnen als Wert für $\dfrac{dy}{dx}$ erhalten haben. Wir bekamen $3x^2$ von x3; wir bekamen 2x von x2; wir bekamen 1 von $x^1$ (also von x selbst); aber wir bekamen nicht $x^{-1}$ von $x^0$, und zwar aus zwei sehr guten Gründen. Erstens ist $x^0$ einfach $= 1$, und das ist eine Konstante, die keinen Differentialkoeffizienten haben kann. Zweitens, selbst wenn es differenziert werden könnte, wäre sein Differentialkoeffizient (den man durch sklavisches Befolgen der üblichen Regel erhält) $0 \times x^{-1}$, und die Multiplikation mit null ergibt den Wert null! Wenn wir also nun versuchen, $x^{-1}\, dx$ zu integrieren, sehen wir, dass es nirgendwo in den Potenzen von x vorkommt, die durch die Regel gegeben sind: \[ \int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}. \] Das ist ein Ausnahmefall.
Nun; aber versuchen Sie es noch einmal. Gehen Sie alle verschiedenen Differentiale durch, die sich aus verschiedenen Funktionen von x in den bisherigen Aufgaben ergeben haben, und versuchen Sie, unter ihnen $x^{-1}$ zu finden. Eine ausreichende Suche wird zeigen, dass wir tatsächlich $\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}$ als Ergebnis der Differenzierung der Funktion $y = \log_\epsilon x$ erhalten haben (siehe hier).
Da wir wissen, dass die Differenzierung von $\log_\epsilon x$ uns $x^{-1}$ liefert, wissen wir natürlich auch, dass wir durch Umkehrung des Prozesses, durch Integration von $dy = x^{-1}\, dx$, $y = \log_\epsilon x$ erhalten. Wir dürfen aber weder den gegebenen konstanten Faktor a vergessen, noch die unbestimmte Integrationskonstante. Dies gibt uns dann als Lösung des vorliegenden Problems,
\[ y = a \log_\epsilon x + C. \]
Anmerkung: Hier sei die sehr bemerkenswerte Tatsache angemerkt, dass wir im obigen Fall nicht hätten integrieren können, wenn wir nicht zufällig die entsprechende Differentiation gekannt hätten. Hätte man nicht herausgefunden, dass die Differenzierung von $\log_\epsilon x$ $x^{-1}$ ergibt, wären wir an dem Problem, wie man $x^{-1}\, dx$ integriert, völlig hängen geblieben. In der Tat sollte man offen zugeben, dass dies eine der seltsamen Eigenschaften der Integralrechnung ist: dass man nichts integrieren kann, bevor der umgekehrte Prozess des Differenzierens von etwas anderem den Ausdruck ergeben hat, den man integrieren will. Niemand, selbst heute nicht, ist in der Lage, das allgemeine Integral des Ausdrucks zu finden, \[ \frac{dy}{dx} = a^{-x^2}, \] zu finden, weil $a^{-x^2}$ noch nie als Ergebnis einer Differenzierung von etwas anderem gefunden wurde.
Anmerkung: Mit Hilfe der gaußschen Fehlerfunktion erf (https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion) läßt sich eine Lösung für dieses Problem finden. \[ \int a^{-x^{2}} = \dfrac{\sqrt{{\pi}}\operatorname{erf}\left(\sqrt{\ln\left(a\right)}x\right)}{2\sqrt{\ln\left(a\right)}} + C \]
Ein weiterer einfacher Fall.
Bestimmen Sie $\int (x + 1)(x + 2)\, dx$.
Bei der Betrachtung der zu integrierenden Funktion fällt Ihnen auf, dass sie das Produkt zweier verschiedener Funktionen von x ist. Man könnte, so denken Sie, $(x + 1)\, dx$ für sich alleine integrieren, oder $(x + 2)\, dx$ für sich allein. Natürlich könnte man das. Aber was macht man mit einem Produkt? Bei keiner der gelernten Differenzierungen haben Sie für den Differentialkoeffizienten ein solches Produkt erhalten. Wenn das nicht der Fall ist, ist es am einfachsten, die beiden Funktionen zu multiplizieren und dann zu integrieren. Das gibt uns
> \[ \int (x^2 + 3x + 2)\, dx. \]
Und das ist das Gleiche wie
\[ \int x^2\, dx + \int 3x\, dx + \int 2\, dx. \]
Und wenn wir die Integrationen durchführen, erhalten wir
\[ \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{3}{2} x^2 + 2x + C. \]