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Differential einer inversen Funktion

Betrachten Sie die Funktion $y = 3x$; sie kann in der Form $x = \dfrac{y}{3}$ ausgedrückt werden; diese letztere Form wird als die inverse Funktion der ersten (ursprünglichen) Form bezeichnet.

Wenn $y = 3x$, ? ? $\dfrac{dy}{dx} = 3$; wenn $x=\dfrac{y}{3}$, ? ? $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$, und wir sehen das

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }\quad \text{bzw. }\quad \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} = 1. \]

Betrachten Sie $y= 4x^2$, $\dfrac{dy}{dx} = 8x$; die inverse Funktion (Umkehrfunktion) ist

\[ x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2},\quad \text{und}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{4\sqrt{y}} = \frac{1}{4 \times 2x} = \frac{1}{8x}. \] \begin{align*} \text{Auch hier}\; \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} &= 1. \end{align*}

Es kann gezeigt werden, dass man für alle Funktionen, die in die inverse Form gebracht werden können, man immer schreiben kann

\[ \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dy} = 1\quad \text{bzw. }\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }. \]

Daraus folgt, dass bei einer gegebenen Funktion, wenn es einfacher ist, die Umkehrfunktion zu differenzieren, dies möglich ist und der Kehrwert des Differentialkoeffizienten der Umkehrfunktion den Differentialkoeffizienten der gegebenen Funktion selbst ergibt.

Angenommen, wir wollen $y=\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}$ differenzieren. Wir haben einen Weg gesehen, dies zu tun, indem wir $u=\dfrac{3}{x}-1$ schreiben und $\dfrac{dy}{du}$ und $\dfrac{du}{dx}$ finden. Dies gibt

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x} -1}}. \]

Wenn wir die Vorgehensweise bei dieser Methode vergessen haben oder unser Ergebnis auf andere Weise überprüfen wollten, oder aus anderen Gründen die gewöhnliche Methode nicht verwenden könnten, um den Differentialkoeffizienten zu erhalten, können wir wie folgt vorgehen: Die Umkehrfunktion ist $x=\dfrac{3}{1+y^2}$.

\[ \frac{dx}{dy} = -\frac{3 \times 2y}{(1+y^2)^2} = -\frac{6y}{(1+y^2)^2}; \] also \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = -\frac{(1+y^2)^2}{6y} = -\frac{\left(1+\dfrac{3}{x} -1\right)^2}{6 \times \sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x}-1}}. \]

Nehmen wir, als weiteres Beispiel, die Funktion $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\theta +5}}$.

Die Umkehrfunktion ist $\theta=\dfrac{1}{y^3}-5$ bzw. $\theta=y^{-3}-5$, und

\[ \frac{d\theta}{dy} = -3y^{-4} = -3\sqrt[3]{(\theta + 5)^4}. \]

Daraus folgt, dass $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3\sqrt{(\theta +5)^4}}$, wie man es sonst auch hätte finden können.

Wir werden dieses Ausweichmanöver später am nützlichsten finden; in der Zwischenzeit sollten Sie sich damit vertraut machen, indem Sie die Ergebnisse der Übungen I (hier), Nr. 5, 6, 7; Beispiele (hier), Nr. 1, 2, 4; und Übungen VI. (hier), Nr. 1, 2, 3 und 4 überprüfen.

Sie werden sicherlich aus diesem und dem vorhergehenden Kapitel erkennen, dass das Calculus in vielerlei Hinsicht eher eine Kunst als eine Wissenschaft ist: eine Kunst, die man sich nur aneignen kann, wie alle anderen Künste, durch Praxis. Daher sollten Sie viele Beispiele bearbeiten und sich andere Beispiele suchen, um zu sehen, ob Sie sie ausarbeiten können, bis sie mit den verschiedenen Kunstgriffen vertraut sind.