Wir haben gesehen, dass wir, wenn wir einen Bruch differenzieren, wir eine ziemlich komplizierte Operation durchführen müssen; und wenn der Bruch selbst kein einfacher ist, ist das Ergebnis zwangsläufig ein komplizierter Ausdruck. Wenn wir den Bruch in zwei oder mehr einfachere Brüche aufteilen könnten, sodass ihre Summe dem ursprünglichen Bruch entspricht, könnten wir jeden dieser einfacheren Ausdrücke differenzieren. Und das Ergebnis der Differenzierung wäre die Summe von zwei (oder mehr) Differenzierungen, von denen jede relativ einfach ist; während der endgültige Ausdruck, obwohl er natürlich derselbe sein wird, der ohne diesen Trick erreicht werden könnte, so mit viel weniger Aufwand erhalten wird und in einer vereinfachten Form erscheint.
Lassen Sie uns sehen, wie Sie dieses Ergebnis erreichen. Versuchen Sie zunächst, zwei Brüche zu addieren, um einen resultierenden Bruch zu bilden. Nehmen wir zum Beispiel die beiden Brüche $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$. Jeder Schüler kann diese zusammenzählen und als Summe $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ ermitteln. Ebenso lassen sich drei oder mehr Brüche addieren. Nun lässt sich dieser Vorgang durchaus umkehren: Das heißt, wenn dieser letzte Ausdruck gegeben wäre, ist es sicher, dass er irgendwie wieder in seine ursprünglichen Bestandteile oder Teilbrüche zerlegt werden kann. Nur wissen wir nicht in jedem Fall, der uns präsentiert wird, wie wir den Ausdruck so aufteilen können, das vergleichsweise einfache Ausdrücke entstehen. Um dies herauszufinden, betrachten wir zunächst einen einfachen Fall. Aber es ist wichtig, zu bedenken, dass alles Folgende nur für sogenannte echte algebraische Brüche gilt, d. h. Brüche wie die obigen, bei denen der Zähler einen geringeren Grad als der Nenner besitzt; d.h. diejenigen, bei denen der höchste Index von x im Zähler kleiner ist als im Nenner. Wenn wir es mit einem Ausdruck wie $\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$ zu tun haben, können wir ihn durch Division vereinfachen, da er äquivalent zu $1+\dfrac{3}{x ^2-1}$ ist; und $\dfrac{3}{x^2-1}$ ist ein echter algebraischer Bruch, auf den die Aufspaltung in Teilbrüche angewendet werden kann, wie weiter unten erklärt.
Fall I. Wenn wir viele Additionen von zwei oder mehr Brüchen durchführen, deren Nenner nur Terme in x und keine Terme in x2, x3 , oder jeder anderen Potenz von x enthalten, finden wir immer, dass der Nenner des resultierenden Bruches das Produkt der Nenner der Brüche ist, die addiert wurden. Daraus folgt, dass wir durch Faktorisierung des Nenners dieses letzten Bruchs jeden der Nenner der gesuchten Teilbrüche finden können.
Angenommen, wir möchten in seine $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ Komponenten zerlegen, von denen wir wissen, dass sie $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$ sind. Wenn wir nicht wussten, welche diese Komponenten sind, können wir immer noch den Weg vorbereiten, indem wir Folgendes schreiben:
\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1}, \]
Lassen Sie die Stellen für die Zähler leer, bis wir wissen, was wir dort einfügen sollen. Wir können immer annehmen, dass das Vorzeichen zwischen den Teilbrüchen plus ist, denn wenn es minus ist, finden wir einfach den entsprechenden negativen Zähler. Da die Teilbrüche nun echte Brüche sind, sind die Zähler bloße Zahlen ohne x, und wir können sie beliebig A, B, $C\dots$ nennen. In diesem Fall haben wir also:
\[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}. \]
Wenn wir nun die Addition dieser beiden Teilbrüche durchführen, erhalten wir $\dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$; und dieser muss gleich $\dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)}$ sein. Und da die Nenner in diesen beiden Ausdrücken gleich sind, müssen die Zähler gleich sein, und wir erhalten folgendes:
\[ 3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1). \]
Nun, dies ist eine Gleichung mit zwei unbekannten Größen, und es scheint, dass wir eine andere Gleichung brauchen, bevor wir sie lösen und A und B finden können. Aber es gibt einen anderen Ausweg aus diesem Problem. Die Gleichung muss für alle Werte von x wahr sein; daher muss sie für solche Werte von x wahr sein, die bewirken, dass $x-1$ und $x+1$ null werden, d.h. für $x=1$ bzw. für $x=-1$. Wenn wir $x=1$ setzen, erhalten wir $4 = (A \times 0)+(B \times 2)$, so dass $B=2$ ist; und wenn wir $x=- 1$ setzen, erhalten wir $-2 = (A \times -2) + (B \times 0)$, so dass $A=1$ ist. Wenn wir A und B der Teilbrüche durch diese neuen Werte ersetzen, werden sie zu $\dfrac{1}{x+1}$ und $\dfrac{2}{x-1}$; und fertig ist die Sache.
Als weiteres Beispiel nehmen wir den Bruch $\dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3}$. Der Nenner wird null, wenn x den Wert 1 hat; daher ist $x-1$ ein Faktor davon, und offensichtlich ist dann der andere Faktor $x^2 + 4x + 3$ (Dieser lässt sich durch Polynomdivision bestimmen, also $x^3 + 3x^2 - x - 3 : x - 1 = x^2 + 4x + 3$) ; und dieser kann wiederum in $(x+1)(x+3)$ zerlegt werden. Wir können den Bruch also so schreiben:
\[ \frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+3}, \]
Erstellen von drei Teilfaktoren.
Gehen wir wie bisher vor, und finden:
\[ 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1). \]
Wenn wir nun $x=1$ setzen, erhalten wir:
\[ -8 = (A \times 0) + B(2 \times 4) + (C \times 0);\quad \text{sodass } B = -1 \text{ ist.} \]
Wenn $x= -1$ ist, erhalten wir:
\[ -12 = A(-2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0);\quad \text{daher } A = 3. \]
Wenn $x = -3$ ist, erhalten wir:
\[ 16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C(-2 \times -4);\quad \text{daher } C = 2. \]
Also sind die Teilbrüche dann:
\[ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3}, \]
was deutlicher einfacher nach x differenziert werden kann, als der komplizierte Ausdruck, aus dem sie abgeleitet wurden.
Fall II. Wenn einige der Faktoren des Nenners in der Form $x^{2}$ vorliegen, und sie sich nicht einfach in Faktoren zerlegen lassen, dann kann es sein, dass der dazugehörige Zähler einen Term mit x enthält, zum Beispiel eine Zahl wie etwa 2x; und daher ist notwendig diesen unbekannten Zähler nicht allein durch das Symbol A, sondern durch $Ax + B$ darzustellen; der Rest der Berechnung erfolgt wie zuvor.
Probieren Sie zum Beispiel:
\[ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \]
Wenn wir $x= -1$ setzen und erhalten $-4 = C \times 2$; und damit ist $C = -2$;
\begin{align*} \text{daher } \; -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2; \\ \text{und } \; x^2 - 1 &= Ax(x+1) + B(x+1). \end{align*}
Setze $x = 0$, und wir erhalten $-1 = B$;
daher \[ x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad \text{bzw. } x^2 + x = Ax(x+1); \\ \text{und }\; x+1 = A(x+1), \]
sodass $A=1$ ist, und die Teilbrüche sind:
\[ \frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{x+1}. \]
Nehmen Sie als weiteres Beispiel den Bruch
\[ \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}. \]
Wir erhalten
\begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}
In diesem Fall ist die Bestimmung von A, B, $C$, D nicht so einfach. Einfacher geht man wie folgt vor: Da der gegebene Bruch und der durch Addition der Teilbrüche gefundene Bruch gleich sind und gleiche Nenner haben, müssen auch die Zähler gleich sein. In einem solchen Fall und für solche algebraischen Ausdrücke wie diese, mit denen wir es hier zu tun haben, sind die Koeffizienten derselben Potenzen von x gleich und haben dasselbe Vorzeichen. Diese Methode wird als Koeffizientenvergleich bezeichnet.
Daher, da
\begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*}
ist, haben wir $1=A+C$; $0=B+D$ (die Koeffizienten von x2 im linken Ausdruck sind null); $0=2A+C$; und $-2=2B+D$. Das sind vier Gleichungen, aus denen wir leicht $A=-1$; $B=-2$; $C=2$; $D=0$ erhalten; so dass die Partialbrüche $\dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1}$ sind.
Diese Methode kann immer verwendet werden; die zuerst gezeigte Methode ist aber im Fall, dass es nur Faktoren in x gibt, die schnellste.
Fall III. Wenn sich unter den Faktoren des Nenners, potenzierte Faktoren befinden, muss bei den Teilbrüchen berücksichtigt werden, das diese im Nenner die verschiedenen Potenzen dieses Faktors bis zum Höchsten haben beziehungsweise bis zur höchsten Potenz. Zum Beispiel müssen wir beim Teilen des Bruchs $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ die Möglichkeit berücksichtigen, dass der Nenner $x+1$ sowie $(x+1)^2$ und $(x-2)$ seien kann.
Da der Zähler des Bruchs, dessen Nenner $(x+1)^2$ ist, Terme in x enthalten kann, müssen wir dies beim Zähler in der Form $Ax+B$ berücksichtigen, sodass:
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}. \]
Wenn wir jedoch in diesem Fall versuchen, A, B, $C$ und D zu finden, scheitern wir, weil wir vier Unbekannte erhalten; und wir haben nur drei Beziehungen, die sie verbinden:
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}. \]
Aber wenn wir stattdessen
\[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}, \]
schreiben, erhalten wir
\[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)^2, \]
was uns $C=1$ für $x=2$ gibt. Wenn wir $C$ durch seinen Wert ersetzen, umformen, (gleiche) Terme zusammenfassen, und durch $x-2$ teilen, erhalten wir $-2x= A+B(x+1)$, was $A=-2$ für $x=-1$ liefert. Wenn wir A durch seinen Wert ersetzen, erhalten wir:
\[ 2x = -2+B(x+1). \]
Dann ist $B=2$; sodass die Partialbrüche / Teilbrüche:
\[ \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]
anstelle von $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}$, die oben als die Brüche angegeben wurden, aus denen $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$ erhalten wurde.
Das Rätsel löst sich auf, wenn wir erkennen, dass $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ selbst in die beiden Brüche $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2}{(x+1)^2}$ zerlegt werden kann, so dass die drei angegebenen Brüche äquivalent sind zu
\[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \]
das sind die erhaltenen Teilbrüche.
Wir sehen, dass es ausreicht, in jedem Zähler einen numerischen Term zu berücksichtigen, und wir erhalten letztendlich / am Ende immer die Partialbrüche.
Wenn der Nenner jedoch eine Potenz eines Faktors von x2 enthält, müssen die entsprechenden Zähler die Form $Ax+B$ haben; zum Beispiel:
\[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac{Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \] das gibt \[ 3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]
Für $x = -1$ erhalten wir $E = -4$. Einsetzen, umformen, gleichartige Terme zusammenfassen, und durch $x + 1$ teilen, und wir erhalten:
\[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]
Daher ist $2C = 16$ und dem entsprechend $C = 8$; $2D = -16$ und $D = -8$; $A - C = 0$ bzw. $A - 8 = 0$ und $A = 8$, und schließlich, $B - D = 3$ bzw. $B = -5$. Damit erhalten wir als Partialbrüche :
\[ \frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}. \]
Es ist sinnvoll, die erhaltenen Ergebnisse zu überprüfen. Der einfachste Weg ist, x durch einen einzelnen Wert zu ersetzen, sagen wir $+1$, sowohl im gegebenen Ausdruck als auch in den erhaltenen Teilbrüchen.
Wenn der Nenner nur eine Potenz eines einzelnen Faktors enthält, ist eine sehr schnelle Methode wie folgt:
Nehmen Sie zum Beispiel $\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}$, sei $x + 1 = z$; dann ist $x = z - 1$.
Einsetzen und wir erhalten
\[ \frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac{3}{z^3}. \]
Die Teilbrüche sind also
\[ \frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}. \]
Anwendung auf Differenzierung. Angenommen wir möchten den folgenden Ausdruck $y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}$ differenzieren; dann haben wir:
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) \times 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align*}
Wenn wir den gegeben Ausdruck aufspalten in
\[ \frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3}, \]
erhalten wir
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2}, \]
das ist wirklich das gleiche Ergebnis wie oben, aufgeteilt in Teilbrüche. Aber die Aufspaltung, wenn sie nach der Differenzierung durchgeführt wird, ist komplizierter, wie leicht zu sehen ist. Wenn wir uns mit der Integration solcher Ausdrücke beschäftigen, wird uns die Aufspaltung in Teilbrüche ein wertvolles Hilfsmittel sein (siehe hier).
Teilen Sie die Brüche auf:
(1) $\dfrac{3x + 5}{(x - 3)(x + 4)}$.
(2) $\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}$.
(3) $\dfrac{3x + 5}{x^2 + x - 12}$.
(4) $\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}$.
(5) $\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}$.
(7) $\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}$.
(9) $\dfrac{x^2}{x^3 - 1}$.
(10) $\dfrac{x^4 + 1}{x^3 + 1}$.
(11) $\dfrac{5x^2 + 6x + 4}{(x +1)(x^2 + x + 1)}$.
(12) $\dfrac{x}{(x - 1)(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{x}{(x^2 - 1)(x + 1)}$.
(14) $\dfrac{x + 3}{ (x +2)^2(x - 1)}$.
(15) $\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{(x + 2)(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5x^2 + 8x - 12}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7x^2 + 9x - 1}{(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{x^2}{(x^3 - 8)(x - 2)}$.
(1) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(2) $\dfrac{1}{ x - 1} + \dfrac{2}{ x - 2}$.
(3) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(4) $\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}$.
(5) $\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}$.
(7) $\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}$.
(9) $\dfrac{1}{3(x - 1)} + \dfrac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)}$.
(10) $x + \dfrac{2}{3(x + 1)} + \dfrac{1 - 2x}{3(x^2 - x + 1)}$.
(11) $\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.
(12) $\dfrac{1}{ x - 1} - \dfrac{1}{ x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}$.
(14) $\dfrac{4}{9(x - 1)} - \dfrac{4}{9(x + 2)} - \dfrac{1}{3(x + 2)^2}$.
(15) $\dfrac{1}{ x + 2} - \dfrac{x - 1}{ x^2 + x + 1} - \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5}{ x + 4} -\dfrac{32}{(x + 4)^2} + \dfrac{36}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7}{9(3x - 2)^2} + \dfrac{55}{9(3x - 2)^3} + \dfrac{73}{9(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{1}{6(x - 2)} + \dfrac{1}{3(x - 2)^2} - \dfrac{x}{6(x^2 + 2x + 4)}$.