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Einige andere Integrale

Einige andere Integrale

Nachdem wir nun wissen, dass die Integration die Umkehrung der Differenzierung ist, können wir sofort die Differentialkoeffizienten nachschlagen, die wir bereits kennen, und sehen, von welchen Funktionen sie abgeleitet wurden. Dadurch erhalten wir die bereits fertigen Integrale für:

\begin{alignat*}{4} &x^{-1} &&\qquad && \int x^{-1}\, dx &&= \log_\epsilon x + C. \\ %\label{intex2} &\frac{1}{x+a} && && \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \log_\epsilon (x+a) + C. \\ &\epsilon^x && && \int \epsilon^x\, dx &&= \epsilon ^x + C. \\ &\epsilon^{-x} &&&& \int \epsilon^{-x}\, dx &&= -\epsilon^{-x} + C \\ \end{alignat*} (for if $y = - \dfrac{1}{\epsilon^x}$, $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\epsilon^x × 0 - 1 × \epsilon^x}{\epsilon^{2x}} = \epsilon^{-x}$). \begin{alignat*}{4} &\sin x && && \int \sin x\, dx &&= -\cos x + C. \\ &\cos x && && \int \cos x\, dx &&= \sin x + C. \\ \end{alignat*}

Außerdem können wir Folgende ableiten:

\begin{alignat*}{4} &\log_\epsilon x; &&&& \int\log_\epsilon x\, dx &&= x(\log_\epsilon x - 1) + C \\ \end{alignat*} (wenn $y = x \log_\epsilon x - x$, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_\epsilon x - 1 = \log_\epsilon x$). \begin{alignat*}{4} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= 0,4343x (\log_\epsilon x - 1) + C. \\ &a^x && && \int a^x\, dx &&= \dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C. \\ % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \\ \end{alignat*} (denn wenn $y = \sin ax$, $\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax$; daher, um $\cos ax$ zu erhalten, muss man $y = \dfrac{1}{a} \sin ax$ differenzieren). \begin{alignat*}{4} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \\ \end{alignat*}

Versuchen Sie $\cos^2\theta$; ein wenig ausweichen wird die Aufgabe vereinfachen: \[ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2 \theta - 1; \\ \] daher \[ \cos^2\theta = \tfrac{1}{2}(\cos 2\theta + 1), \] und \begin{align*} \int\cos^2 \theta\, d\theta &= \tfrac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \tfrac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \tfrac{1}{2} \int d\theta. \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align*}

(Siehe auch hier)